Question

1+1/2+1/2^2+1/2^3+......+1/2^2000

计算1+5+5^2+5^3+......+5^99+5^100
观察发现，上式从第二项起，每项都是它前面一项的5倍，如果将上式各项都乘以5，所得新算式中除个别项外，其余与原式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算。
解：设S=1+5+5^2+5^3+......+5^99+5^100,
则5S=5+5^2+.....+5^100+5^101，
②-①得4S=5^101-1，则S=(5^101-1)/4
上面计算使用的方法称为“错位相减法”，如果一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等（本例中是都等于5），那么这列数的求和问题，均可用上述“错位相减”法来解决。
下面请你观察算式1+1/2+1/2^2+1/2^3+......+1/2^2000是否具备上述规律？若是，请你尝试用“错位相减”法计算上式的结果。

Answer 1

解设S=1+1/2+1/2^2+1/2^3+......+1/2^2000...........①
则1/2S=1/2+1/2^2+1/2^3+1/2^4+......+1/2^2001.......②
由①-②得
1/2S=1-1/2^2001
即S=2-1/2^2000.

Answer 2

解：设S=1+1/2+1/2^2+1/2^3+......+1/2^2000…………①
则2S=2+1+1/2+1/2^2+……+1/2^1999…………②
②-①得S=2-1/2^2000
即：1+1/2+1/2^2+1/2^3+......+1/2^2000=2-1/2^2000