Question

初中平面几何题求解

在四边形abcd中,已知角bad=60度,角abc=90度,角bcd=120度,对角线ac、bd交于点s，且ds=2sb，p为ac中点。求证：ad=dc

Answer 1

设∠BAC=α，∠CAD=β

∴α+β=60°

∵∠ABC+∠ADC=180°

∴A,B,C,D四点共圆

∴P为圆的圆心

设圆半径R

∴AB=2Rcosα,AD=2Rcosβ,BC=2Rsinα,CD=2Rsinβ

∵SD=2SB且BD=√3R

∴AS·AC=SD·SB=(2/3)R²

∴AS,CS=(1±√3/3)R

∵⊿ABS∽⊿DCS

∴AS/SD=AB/CD=cosα/sinβ

同理,BS/AS=BC/AD=sinα/cosβ

∴BS/SD=(sinαcosα)/(sinβcosβ)=1/2

∴sin2α/sin2β=1/2

又2α+2β=120°

经计算,α=15°,β=45°

∴⊿ADC为等腰直角三角形

∴AD=CD

Answer 2

设∠BAC=α，∠CAD=β
∴α+β=60°
∵∠ABC+∠ADC=180°
∴A,B,C,D四点共圆
∴P为圆的圆心

∴AB=2Rcosα,AD=2Rcosβ,BC=2Rsinα,CD=2Rsinβ
∵SD=2SB且BD=√3R
∴AS·AC=SD·SB=(2/3)R²
∴AS,CS=(1±√3/3)R
∵⊿ABS∽⊿DCS
∴AS/SD=AB/CD=cosα/sinβ
同理,BS/AS=BC/AD=sinα/cosβ
∴BS/SD=(sinαcosα)/(sinβcosβ)=1/2
∴sin2α/sin2β=1/2
又2α+2β=120°
∴α=15°,β=45°
∴⊿ADC为等腰直角三角形
∴AD=CD

Answer 3

这题可以证明的

Answer 4

很明显的不等。