Question

已知函数f(x)=12ax2+2x(a≠0)，g(x)=lnx．（Ⅰ）若h（x）...

已知函数f(x)=12ax2+2x(a≠0)，g(x)=lnx． （Ⅰ）若h（x）=f（x）-g（x）存在单调增区间，求a的取值范围； （Ⅱ）是否存在实数a＞0，使得方程g(x)x=f′(x)-(2a+1)在区间(1e，e)内有且只有两个不相等的实数根？若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知，得h（x）=12ax2+2x-lnx，且x＞0，
则h'（x）=ax+2-1x=ax2+2x-1x，…（2分）
∵函数h（x）存在单调递增区间，∴h'（x）＞0在（0，+∞）上有解，
即不等式ax2+2x-1＞0在（0，+∞）上有解．
①当a＜0时，y=ax2+2x-1的图象为开口向下的抛物线，对称轴为x=-1a＞0要使ax2+2x-1＞0在（0，+∞）上总有解，只需△=4+4a＞0，即a＞-1．即-1＜a＜0
②当a＞0 时，y=ax2+2x-1的图象为开口向上的抛物线，ax2+2x-1＞0 一定有解．
综上，a的取值范围是（-1，0）∪（0，+∞） …（5分）
（Ⅱ）方程g(x)x=f′(x)-(2a+1)
则lnxx=ax+2-(2a+1)=ax+(1-2a)
即ax2+（1-2a）x-lnx=0…（6分），
设h（x）=ax2+（1-2a）x-lnx．
于是原方程在区间(1e，e)内根的问题，转化为函数h（x）在区间(1e，e)内的零点问题
h′(x)=2ax+(1-2a)-1x=2ax2+(1-2a)x-1x=(2ax+1)(x-1)x当x∈(0，1)时，h′(x)＜0，h(x)是减函数；当x∈(1，+∞)时，h′(x)＞0，h(x)是增函数；…（9分）
若h(x)在(1e，e)内有且只有两个不相等的零点，只须h(1e)=a2e2+1-2ae+1=(1-2e)a+e2+ee2＞0h(x)min=h(1)=a+(1-2a)=1-a＜0h(e)=ae2+(1-2e)a-1=(e2-2e)a+(e-1)＞0…（12分）
解得1＜a＜e2+e2e-1，所以a的取值范围是(1，e2+e2e-1)…（14分）