Question

设抛物线y=x^2+2ax+b与x轴相交于a、b

如图,已知抛物线y=-x2+ax+b与x轴交于AB两点(A在B的左侧),与y轴交于C,设∠BAC=α,
(1∠ABC∠ABC=β.tanα-tanβ=2,∠ACB=90°.=β.tanα-tanβ=2,∠ACB=90°.)求C点的坐标及抛物线解析式;(2)若顶点为p,求图形AOPC的面积.

Answer 1

（1）根据题意设点A（x1,O）、点B（x2,O）,且C（O,b）；
x1＜0,x2＞0,b＞0,
∵x1,x2是方程-x2+ax+b=0的两根,
∴x1+x2=a,x1��x2=-b；（1分）
在Rt△ABC中,OC⊥AB,
∴OC2=OA��OB,
∵OA=-x1,OB=x2,
∴b2=-x1��x2=b,（2分）
∵b＞0,
∴b=1,
∴C（0,1）；（3分）
（2）在Rt△AOC和Rt△BOC中,
tanα-tanβ=OCOA-OCOB=-1x1-1x2=-x1+x2x1x2=ab=2,（4分）
∴a=2,
∴抛物线解析式为：y=-x2+2x+1．（5分）
（3）∵y=-x2+2x+1,
∴顶点P的坐标为（1,2）,
当-x2+2x+1=0时,x=1±2,
∴A（1-2,0）,B（1+2,0）,（6分）
延长PC交x轴于点D,过C、P的直线为y=x+1,
∴点D的坐标为（-1,0）,（7分）
S四边形ABPC=S△DPB-S△DCA
=12��|DB|��yp-12��|AD|��yc
=12×(2+2)×2-12×(2-2)×1
=2+322．（8分）