Question

设函数f(x)=eˣ(x-1),函数g(x)=mx,若对于任意的x₁∈[-2,2]

设函数f(x)=x-1/x,对任意x∈[1,∞),f(mx)+mf(x)<0恒成立,则实数M的取值范围是?
我先证明这是奇函数. 然后因为f（-x）=-f（x）. 又因为f（x）在第一象限单调递增.所以 -f（x）恒小于f（x）.即mf（x）＜f（-mx）.解得m=-1. （负无穷到 -1）满足. 这样想可以么.我真不知道怎么做这种题了,不知道一开始怎么想.

Answer 1

直接算呗.
f(mx)+mf(x)=mx-1/mx +mx-m/x=2mx-(m+ 1/m)/x<0,
[2mx²- (m²+1)/m]/x<0对x∈[1,∞)恒成立,
就是二次函数g(x)=2mx²- (m²+1)/m在x∈[1,∞)上恒小于0,而图像对称轴在Y轴上.
若m>0,则g(x)开口向上,不满足.
若m<0,则g(x)开口向下,且顶点- (m²+1)/m>0,要求g(1)<0,
代入得2m- (m²+1)/m<0,所以2m²- m²-1>0,解得m<-1,
综合上面两种情况得m<-1