设xn=1+1/2+1/3+…+1/n,证明limxn=无穷
xn是等比数列的和，且|q|
^1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+....+x^(n+1)/[(n+1)!]+...=e^x
x/1!+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+....+x^(n+1)/[(n+1)!]+...=e^x-1
1/1!+x/2!+x^2/3!+x^3/4!+....+x^n/[(n+1)!]+...=(e^x-1)/x
对上式逐项求导得：
1/2!+2x/3!+3x^2/4!+......+nx^(n-1)/[(n+1)!]+...=[(e^x-1)/x]'=[(x-1)e^x+1]/(x^2)
取x=1，得到所要的结果：1/2!+2/3!+3/4!+......+n/[(n+1)!]+...=1
可定义某一个数列{xn}的收敛：
设{xn}为一个无穷实数数列的集合。如果存在实数a，对于任意正数ε （不论其多么小），都N>0，使不等式|xn-a|<ε在n∈(N,+∞)上恒成立，那么就称常数a是数列{xn} 的极限，或称数列{xn}收敛于a。记作 或。
如果上述条件不成立，即存在某个正数ε，无论正整数N为多少，都存在某个n>N，使得|xn-a|≥ε，就说数列{xn}不收敛于a。如果{xn}不收敛于任何常数，就称{xn}发散。
对定义的理解：
1、ε的任意性 定义中ε的作用在于衡量数列通项
与常数a的接近程度。ε越小，表示接近得越近；而正数ε可以任意地变小，说明xn与常数a可以接近到任何不断地靠近的程度。但是，尽管ε有其任意性，但一经给出，就被暂时地确定下来，以便靠它用函数规律来求出N；
又因为ε是任意小的正数，所以ε/2 、3ε 、ε2等也都在任意小的正数范围，因此可用它们的数值近似代替ε。同时，正由于ε是任意小的正数，我们可以限定ε小于一个某一个确定的正数。
2、N的相应性 一般来说，N随ε的变小而变大，因此常把N写作N(ε)，以强调N对ε的变化而变化的依赖性。
但这并不意味着N是由ε唯一确定的：（比如若n>N使|xn-a|<ε成立，那么显然n>N+1、n>2N等也使|xn-a|<ε成立）。重要的是N的存在性，而不在于其值的大小。
3、从几何意义上看，“当n>N时，均有不等式|xn-a|<ε成立”意味着：所有下标大于N的
都落在(a-ε，a+ε)内；而在(a-ε，a+ε)之外，数列{xn} 中的项至多只有N个（有限个）。换句话说，如果存在某 ε0>0，使数列{xn} 中有无穷多个项落在(a-ε0，a+ε0) 之外，则{xn} 一定不以a为极限。
注意几何意义中：1、在区间(a-ε，a+ε)之外至多只有N个（有限个）点；2、所有其他的点xN+1,xN+2,...（无限个）都落在该邻域之内。这两个条件缺一不可，如果一个数列能达到这两个要求，则数列收敛于a；而如果一个数列收敛于a，则这两个条件都能满足。
换句话说，如果只知道区间(a-ε，a+ε)之内有{xn}的无数项，不能保证(a-ε，a+ε)之外只有有限项，是无法得出{xn}收敛于a的，在做判断题的时候尤其要注意这一点。
xn是等比数列的和，且|q|
^1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+....+x^(n+1)/[(n+1)!]+...=e^x
x/1!+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+....+x^(n+1)/[(n+1)!]+...=e^x-1
1/1!+x/2!+x^2/3!+x^3/4!+....+x^n/[(n+1)!]+...=(e^x-1)/x
对上式逐项求导得：
1/2!+2x/3!+3x^2/4!+......+nx^(n-1)/[(n+1)!]+...=[(e^x-1)/x]'=[(x-1)e^x+1]/(x^2)
取x=1，得到所要的结果：1/2!+2/3!+3/4!+......+n/[(n+1)!]+...=1
扩展资料：
1、在区间(a-ε，a+ε)之外至多只有N个（有限个）点；
2、所有其他的点xN+1,xN+2,...（无限个）都落在该邻域之内。这两个条件缺一不可，如果一个数列能达到这两个要求，则数列收敛于a；而如果一个数列收敛于a，则这两个条件都能满足。
换句话说，如果只知道区间(a-ε，a+ε)之内有{xn}的无数项，不能保证(a-ε，a+ε)之外只有有限项，是无法得出{xn}收敛于a的，在做判断题的时候尤其要注意这一点。
参考资料来源：百度百科-极限
