Question

如何证明正弦定理和余弦定理用于所有三角形都成立

Answer 1

1.三角形的正弦定理证明：
　　步骤1.
　　在锐角△ABC中，设三边为a，b，c。作CH⊥AB垂足为点H
　　CH=a·sinB
　　CH=b·sinA
　　∴a·sinB=b·sinA
　　得到
　　a/sinA=b/sinB
　　同理，在△ABC中，
　　b/sinB=c/sinC
　　步骤2.
　　证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：
　　如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.
　　作直径BD交⊙O于D.
　　连接DA.
　　因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度
　　因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.
　　所以c/sinC＝c/sinD=BD=2R
　　a/SinA=BC/SinD=BD=2R
　　类似可证其余两个等式。
2.三角形的余弦定理证明：
平面几何证法：
　　在任意△ABC中
　　做AD⊥BC.
　　∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a
　　则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c
　　根据勾股定理可得：
　　AC^2=AD^2+DC^2
　　b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2
　　b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosB
　　b^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2
　　b^2=c^2+a^2-2ac*cosB
　　cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac