Question

已知m是(√㎡+1/㎡-2)的小数部分,求(√㎡+1/m-2)的值

Answer 1

（1）
∵ 抛物线y=ax²+bx-4a 经过A（-1,0）C（0,4）
∴ 把A,C点的坐标代入抛物线方程得关于a、b的方程组：
a-b-4a=0
-4a=4
解得：a=-1,b=3
∴ 抛物线解析式为y=-x²+3x+4
（2）
∵ D（m,m+1）在第一象限的抛物线上
∴ m+1=-m²+3m+4（m>0）
解得:m = 3
∴ D点坐标为(3,4)
∵ 抛物线与x轴交于另一点B,
由 -x²+3x+4=0 解得另一根为4
∴ B点坐标为（4,0）
∴直线BC的方程为：x+y-4=0
设点D关于直线BC对称点为 E（x0,y0)
则DE中点在直线BC上,
有：(3+x0)/2 + (4+y0)/2 -4=0…………①
同时 DE⊥BC ,
所以有：-1×(y0-4)/(x0-3)=-1 …………②
由①,②解得：x0=0 ,y0=1
∴ 点D关于直线BC对称点的坐标：（0,1）
（3）
∵ 点P为抛物线上一点,可设其坐标为(t,-t²+3t+4)
则向量BD=(-1,4) ,向量BP=(t-4,-t²+3t+4)
向量BD与向量BP的数量积为：-(t-4)+4(t+1)(4-t)
向量BD与向量BP的模分别为：√17和∣t-4∣×√(t²+2t+2)
∵ ∠DBP=45°
∴ -(t-4)+4(t+1)(4-t)=√17×∣t-4∣×√(t²+2t+2)×cos45°
解得：t=-8/3或t=-2/5（其中 t=-8/3 时方程左边为负,舍去）
把t=-2/5代入抛物线方程得纵坐标 -t²+3t+4=66/25
∴ P的坐标为（-2/5,66/25）
（注：第三问,如果你学了夹角公式和到角公式,那么要更简单一些 ：
设直线BP斜率为K,
∵ 直线BD斜率为-4,由到角公式得：
[K-(-4)]/(1-4k)=tan45°,解得：K=-3/5 ,
设P坐标为(t,-t²+3t+4)
则 (-t^2+3t+4)/(t-4)=-3/5
解得：t=-2/5
以下同上,略.）