Question

矩形问题

在三角形ABC中,AC=2,BC=4,AB=2倍根号5,以AB为边向三角形外作矩形ABDE,且使矩形的长边是短边的2倍，求CD的长

Answer 1

在三角形ABC中,AC=2,BC=4,AB=2倍根号5,以AB为边向三角形外作矩形ABDE,且使矩形的长边是短边的2倍，求CD的长
解：在△ABC中，AC=2，BC=4，AB=2√5，故AC²+BC²=4+16=20=(2√5)²=AB²，∴△ABC是直角三角形，C是直角。
以AB为边，向外作矩形ABDE，①若AB=DE=2√5是长边，则短边BD=AE=√5；②若AB=DE=2√5是短边，则长边BD=AE=4√5；
①BD=AE=√5时，CD²=BC²+BD²-2BC×BDcos∠CBD=16+5-8(√5)cos(90°+∠ABC)
=21+8(√5)sin∠ABC=21+8(√5)×(2/2√5)=29，故CD=√29；
②BD=AE=4√5时，CD²=16+80+32(√5)×(2/2√5)=128，这时CD=√128=8√2.

Answer 2

解：
当BC＝2AB时，四边形PEMF是矩形
证明：
因为BC＝2AB，M是AD的中点
所以AB＝AM
又因为∠A＝90度
所以三角形ABM是等腰直角三角形
同理，三角形CDM是等腰直角三角形
所以∠AMB＝∠DMC＝45度
所以∠BMC＝90度
因为PE垂直于MC，PF垂直于MB
所以∠PFM＝∠PEM＝90度
所以四边形PEMF是矩形

供参考！JSWYC