Question

高中数学函数问题，求高手

若二次函数f(x)满足:1.在x=1处有极值2.图像与y轴交点的纵坐标为-3，且在该点处的切线与直线x=2y-4垂直（1）求f（1）的值
（2）求函数g（x）=f（xlnx），x∈【1,2】的值域
（3）若曲线y=f(lnx)，x∈（1，+无穷）上任意一点的切线的斜率恒大于a的3次方-a-2,求a的取值范围

Answer 1

1) f=ax^2+bx-3
在x=1处有极值
f'=2ax+b=0
2a+b=0
在该点处的切线与直线2x+y=0平行
b=-2

a=1
所以y=x^2-2x-3

2)
令 t=xe^x
t'=xe^x+e^x=e^x(x+1)
t在【0,1】为增函数
0<=t<=e
g=(t-1)^2-4
所以 g(1) <=g<=g(e)
所以g的值域为： -4<=g（x)<=e^2-2e-3

3)
若曲线y=f(e^x)上任意不同两点的连线的斜率恒大于a+1/a
假设 x1<x2为曲线上任意两点：
所以 y1-y2/(x1-x2)>a+1/a
因为x1-x2<0
所以y1-y2<(x1-x2)(a+1/a)
把f(e^x)代入并整理：
f(e^x1)-x1(a+1/a)<f(e^x2)-x2(a+1/a）恒成立
令h(x)=f(e^x)-x(a+1/a)
因此只需保证h(x)在定义域内为增函数即可
h'(x)=f'(e^x)-(a+1/a)>=0恒成立
因为f'=2x-2
所以只需a+1/a<=2(e^x-1/2)^2-1/2恒成立
所以a+1/a<=-1/2
解方程得： a<0

追问

对不起哦..题目不一样..

Answer 2

1
y=a(x-h)^2+c
x=1处极值，顶点x=1,对称轴x=1
h=1
交点(0,-3)
-3=a+c
（0,3)切线 y+3=[-1/(1/2)]x, y=-2x-3
-2x-3=a(x-1)^2+c
ax^2-(2a-2)x+a+c+3=0
判别式(2a-2)^2-4a(a+c+3)=0
-8a+4-4ac-12a=0
4=4ac+20a
ac+5a=1
a(-3-a)+5a=1
a^2-2a+1=0
a=1
c=-4
二次函数y=f(x)=(x-1)^2-4
f(1)=-4
2
g(x)=f(xlnx)=(xlnx-1)^2-4
1<=x<=2, 2ln2>1 1ln1=0<1
(2ln2-1)=ln(4/e) <lne
xlnx=1时 g(x)最小值-4
x=1时,g(x)最大值-3

3
y=f(lnx)=(lnx-1)^2-2
y'=2(lnx-1) *(1/x)
y'>a^3-a-2
-2>a^3-a-2
a^3-a<0
a(a^2-1)<0
a<0 a^2-1>0
a<-1
a>0 a^2-1<0
1>a>0
取值范围 a<-1或1>a>0

Answer 3

f