Question

已知函数f(x)对任意实数x、y都有f(x*y)=f(x)*f(y),且f(-1)=1,f(27)=9,当0≤x＜1时，0≤f(x)＜1

（1）判断f(x)的奇偶性
（2）判断f(x)在【0，正无穷）上的单调性，并给出证明
（3）若a≥0且f(a+1)≤∛9，求a的取值范围

Answer 1

（1）f(-x)=f(-1)f(x)=f(x) 偶函数
（2） f(1)=f(-1)=1>0
对任意x>0 有f(x)=f(根号(x)) 的平方>=0
若存在x>0 f(x)=0 那么f(1)=f(x)f(1/x)=0 与f(1)=1矛盾
所以x>0时 f(x)>0
又 0<x<y 时 x/y<1 有0<f(x/y)<1
f(x)=f(x/y)f(y)<f(y) f(x)在【0，正无穷）上的单调增加
（3） f(27)=9 f(3)f(3)f(3)=f(27)=9
f(3)=∛9
所以f(a+1)≤∛9 由(1)（2）的结论只-3≤ a+1≤3
-4≤a≤2 加上a≥0
只0≤a≤2

Answer 2

(1)令 y=-1，得 f(-x)=f(x)f(-1)=f(x)，所以 f(x)是偶函数。
(2) 先证f(x)>0，由于f(1)=f(-1)=1，又f(1)=f(x•1/x)=f(x)f(1/x)
从而 f(x)与f(1/x)同号且不为0，由条件0≤x＜1时，0≤f(x)＜1，知，对任意的实数，都有f(x)>0.
再证单调性。设 x2>x1≥0，则 0≤x1/x2<1，0<f(x1/x2)<1
在条件中令 x=x2，y=x1/x2，则 xy=x1
所以 f(x1)=f(x2)f(x1/x2)<f(x2)，f(x)是[0，+∞)上的增函数。
(3) 则f(27)=f(3)f(3)f(3)，所以 f(3)=∛9
不等式化为f(a+1)≤f(3)
a+1≤3
从而 0≤a≤2