Question

高数极限基础题

用ε-N定义证明以下极限式：
当q的绝对值小于1，n趋近于无穷大时，n^2乘q^n的极限为0.

怎么证？

Answer 1

题目要求是用定义证明，所以需要用数列极限的定义去证明这个的成立。
因为|q|<1，故可令|q|=1/(1+h)，其中h>0，从而|q|^n=1/[(1+h)^n]。
而 n 足够大的时候，有
(1+h)^n = 1 + n*h + [n*(n-1)/(2*1)]*h^2 + [n*(n-1)*(n-2)/(3*2*1)]*h^3 + [n*(n-1)*(n-2)*(n-3)/(4*3*2*1)]*h^4 + ... + h^n
我们关心n^3的式子，
(1+h)^n > [n*(n-1)*(n-2)/(3*2*1)]*h^3 > [(n-2)^3]*(h^3)/6
所以，
|q|^n = 1/[(1+h)^n] < 6*(h^3)/[(n-2)^3]，
由此，得到我们要证明的
(n^2)*(|q|^n) < (n^2)*6*(h^3)/[(n-2)^3] < [(2*n-6)^3]*6*(h^3)/[(n-3)^3] = 192*(h^3)/(n-3)，
任取 ε > 0，要使 |(n^2)*(|q|^n) - 0| < ε，只要 192*(h^3)/(n-3) < ε，
也就是说只要 n > 192*(h^3)/ε + 3，故可取 N = [192*(h^3)/ε + 3]，其中的中括号是取192*(h^3)/ε + 3 的整数部分，
当 n > N 时，就有 |(n^2)*(|q|^n) - 0| < ε。
所以数列极限：lim(n^2)*(|q|^n)=0成立。
证明完毕。

补充说明，对于(n^m)*(|q|^n)，其中m正整数。
极限都是可以用上面的方法来证明等于0的，只要把 |q|变形一下，取出其中的 n^(m+1)对应的项，整理一下，就可以证明啦。

追问

q|^n = 1/[(1+h)^n] < 6*(h^3)/[(n-2)^3]，

这一步，h^3应该在分母啊

追答

恩，自己再仔细推下，思想方法都给了你

追问

后面几步你都把h^3放在分子了，是不是错了

Answer 2

按定义证明
这个还是有点