Question

请问这题变上限积分怎么解呀？跪求大佬解答，谢谢。

Answer 1

令u=t/2，t=2u
f(x)=2∫(0.x)f(u)du+e^2x
f(x)未说明可导，令F(x)=∫(0.x)f(u)du
则f(x)=F'(x)=2F(x)+e^2x
解微分方程可得F(x)=Ce^2x+xe^2x
f(x)=2Ce^2x+(2x+1)e^2x
又由已知可得f(0)=1，
故C=0，即f(x)=(2x+1)e^2x

Answer 2

f(0) = 1, ；两边对 x 求导， 得
f'(x)= 2f(x)+2e^(2x),
f'(x)-2f(x) = 2e^(2x) 为一阶线性微分方程， 通解是
f(x) = e^(2∫dx)[∫2e^(2x)e^(-2∫dx)dx + C]
= e^(2x)[∫2dx + C] = (2x+C)e^(2x)
f(0) = 1 代入， 得 C = 1， 则 f(x) = (2x+1)e^(2x)