Question

cos³x在x=0处带有佩亚诺型余项的n阶泰勒公式

Answer 1

根据三倍角公式，有：
f(x)=cos³x=(1/4)[cos(3x)+3cosx]

对cosx和cos3x分别在x=0处作泰勒展开，有：
cosx = 1-x²/2!+x^4/4! -...+(-1)^n·x^(2n)/(2n)! +o(x^(2n)) (n=0,1,...) ①
cos3x = 1-(3x)²/2!+(3x)^4/4! -...+(-1)^n·(3x)^(2n)/(2n)! +o((3x)^(2n)) (n=0,1,...) ②

①×(3/4)+②×(1/4)，可得：
cos³x = 1-3x²/2!+21x^4/4! -... (-1)^n·[(1/4)9^n+(3/4)]·x^(2n)/(2n)! +o(x^(2n))