Question

已知函数 f(x)=1+a•2x2x+1是奇函数.(1)求实数a的值;(2)判断...

已知函数 f(x)=1+a•2x2x+1 是奇函数. (1)求实数a的值; (2)判断函数f(x)在R上的单调性并用定义法证明; (3)若函数f(x)的图象经过点(1，-13)，这对任意x∈R不等式f(x2-2mx+m+1)≤-13恒成立，求实数m的范围.

Answer 1

解答:解:(1)因为函数的定义域为R，且函数为奇函数，所以f(0)=0，
即f(0)=
1+a
2
=0，解得a=-1.
(2)因为a=-1，所以f(x)=
1-2x
1+2x
，
设x1＜x2，则f(x1)-f(x2)=
1-2x1
1+2x1
-
1-2x2
1+2x2
=
2(2x2-2x1)
(1+2x1)(1+2x2)
，
因为x10，即f(x1)＞f(x2)，
所以函数为减函数.
(3)因为函数f(x)的图象经过点(1，-
1
3
)，所以f(1)=-
1
3
，
所以不等式f(x2-2mx+m+1)≤-
1
3
等价为f(x2-2mx+m+1)≤f(1)，
由(2)知函数为减函数，
所以x2-2mx+m+1≥1恒成立，即x2-2mx+m≥0恒成立.
所以△=4m2-4m≤0，解得0≤m≤1.