Question

水渠道断面为等腰梯形，如图所示，渠道深为h，梯形面积为S，为了使渠道的渗水量达到最小，

应使梯形两腰及下底之和达到最小，此时底角α应该是多少
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Answer 1

令下底为m，上底为n
则：n=m+2h/tanα
S = (m+n)h/2 = (m+m+2h/tan)h/2 = h(m+h/tanα)
m = S/h-h/tanα
腰长L = h/sinα
两腰及下底之和f(α) = 2h/sinα+S/h-h/tanα
= S/h + h(2/sinα-1/tanα)
= S/h + h(2/sinα-1/tanα)
= S/h + h(2-cosα)/sinα
f‘(α) = h {sinα*[-(-sinα)]-(2-cosα)*cosα}/(sin^2α) = h(1-2cosα)/sin^2α
当cosα＜1/2时，函数单调增；当cosα＞1/2时，函数单调减
当cosα=1/2，即α=60°时，两腰及下底之和达到最小。

Answer 2

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