如图,OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,O为原点,点A在x轴的正半轴上点
点C在y轴的正半轴上OA=5,OC=4。(1)在OC边上取一点D,将纸片沿AD翻折,使点O落在BC边上的点E处,求D、E两点的坐标;(2)如图②,若AE上有一动点P(不与...
点C在y轴的正半轴上OA=5,OC=4。
(1)在OC边上取一点D,将纸片沿AD翻折,使点O落在BC边上的点E处,求D、E两点的坐标;
(2)如图②,若AE上有一动点P(不与A、E重合)自A点沿AE方向向E点匀速运动,运动的速度为每秒1个单位长度,设运动的时间为t秒(0 <t<5),过P点作ED的平行线交AD于点M,过点M作AE的平行线交DE于点N,求四边形PMNE的面积S和时间t之间的函数关系式;当t取何值时,S有最大值?最大值是多少?
(3)在(2)的条件下,当t为何值时,以A、M、E为顶点的三角形为等腰三角形,并求出相应的时刻点M的坐标。 展开
(1)在OC边上取一点D,将纸片沿AD翻折,使点O落在BC边上的点E处,求D、E两点的坐标;
(2)如图②,若AE上有一动点P(不与A、E重合)自A点沿AE方向向E点匀速运动,运动的速度为每秒1个单位长度,设运动的时间为t秒(0 <t<5),过P点作ED的平行线交AD于点M,过点M作AE的平行线交DE于点N,求四边形PMNE的面积S和时间t之间的函数关系式;当t取何值时,S有最大值?最大值是多少?
(3)在(2)的条件下,当t为何值时,以A、M、E为顶点的三角形为等腰三角形,并求出相应的时刻点M的坐标。 展开
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(1)∵D在OC边上
∴设D的坐标为(y,0)
∵E在BC边上
∴设E的坐标为(x,4)
易证直角三角形AOD与直角三角形AED全等
∴EA=OA=5;
∴矩形OABC的两边AB=OC=4
根据勾股定理,直角三角形AEB的直角边EB=3。
X=OA-EB=5-3=2.
在直角三角形DEC中,DE=OD=y,CD=4-y,CE=x=2,y2+(4-y)2=4,
解得y=2.5。
D、E两点的坐标分别为(2.5,0)和(2,4)。
(2)略
(3)略
(*^__^*) 嘻嘻……,采不采纳,随你
∴设D的坐标为(y,0)
∵E在BC边上
∴设E的坐标为(x,4)
易证直角三角形AOD与直角三角形AED全等
∴EA=OA=5;
∴矩形OABC的两边AB=OC=4
根据勾股定理,直角三角形AEB的直角边EB=3。
X=OA-EB=5-3=2.
在直角三角形DEC中,DE=OD=y,CD=4-y,CE=x=2,y2+(4-y)2=4,
解得y=2.5。
D、E两点的坐标分别为(2.5,0)和(2,4)。
(2)略
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(1)∵D在OC边上
∴设D的坐标为(y,0)
∵E在BC边上
∴设E的坐标为(x,4)
易证直角三角形AOD与直角三角形AED全等
∴EA=OA=5;
∴矩形OABC的两边AB=OC=4
根据勾股定理,直角三角形AEB的直角边EB=3。
X=OA-EB=5-3=2.
在直角三角形DEC中,DE=OD=y,CD=4-y,CE=x=2,y2+(4-y)2=4,
解得y=2.5。
D、E两点的坐标分别为(2.5,0)和(2,4)。
(2)略
(3)略
(*^__^*) 嘻嘻……,采不采纳,随你
∴设D的坐标为(y,0)
∵E在BC边上
∴设E的坐标为(x,4)
易证直角三角形AOD与直角三角形AED全等
∴EA=OA=5;
∴矩形OABC的两边AB=OC=4
根据勾股定理,直角三角形AEB的直角边EB=3。
X=OA-EB=5-3=2.
在直角三角形DEC中,DE=OD=y,CD=4-y,CE=x=2,y2+(4-y)2=4,
解得y=2.5。
D、E两点的坐标分别为(2.5,0)和(2,4)。
(2)略
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解:(1)依题意可知,折痕AD是四边形OAED的对称轴,
∴在Rt△ABE中,AE=AO=5,AB=4.
BE= AE2-AB2 = 52-42 =3.
∴CE=2.
∴E点坐标为(2,4).
在Rt△DCE中,DC2+CE2=DE2,
又∵DE=OD.
∴(4-OD)2+22=OD2.
解得:OD=5 2 .
∴D点坐标为(0,5 2 ).
(2)如图①∵PM∥ED,
∴△APM∽△AED.
∴PM ED =AP AE ,
又知AP=t,ED=5 2 ,AE=5,
PM=t 5 ×5 2 =t 2 ,
又∵PE=5-t.
而显然四边形PMNE为矩形.
S矩形PMNE=PM•PE=t 2 ×(5-t)=-1 2 t2+5 2 t;
∴S四边形PMNE=-1 2 (t-5 2 )2+25 8 ,
又∵0<5 2 <5.
∴当t=5 2 时,S矩形PMNE有最大值25 8 .
(3)(i)若以AE为等腰三角形的底,则ME=MA
在Rt△AED中,ME=MA,
∵PM⊥AE,
∴P为AE的中点,
∴t=AP=1 2 AE=5 2 .
又∵PM∥ED,
∴M为AD的中点.
过点M作MF⊥OA,垂足为F,则MF是△OAD的中位线,
∴MF=1 2 OD=5 4 ,OF=1 2 OA=5 2 ,
∴当t=5 2 时,(0<5 2 <5),△AME为等腰三角形.
此时M点坐标为(5 2 ,5 4 ).
(ii)若以AE为等腰三角形的腰,则AM=AE=5
在Rt△AOD中,AD= OD2+AD2 = (5 2 )2+52 =5 5 2 .
过点M作MF⊥OA,垂足为F.
∵PM∥ED,
∴△APM∽△AED.
∴AP AE =AM AD .
∴t=AP=AM•AE AD =5×5 5 5 2 =2 5 ,
∴PM=1 2 t= 5 .
∴MF=MP= 5 ,OF=OA-AF=OA-AP=5-2 5 ,
∴当t=2 5 时,(0<2 5 <5),此时M点坐标为(5-2 5 , 5 ).
综合(i)(ii)可知,t=5 2 或t=2 5 时,以A,M,E为顶点的三角形为等腰三角形,
相应M点的坐标为(5 2 ,5 4 )或(5-2 5 , 5 ).
∴在Rt△ABE中,AE=AO=5,AB=4.
BE= AE2-AB2 = 52-42 =3.
∴CE=2.
∴E点坐标为(2,4).
在Rt△DCE中,DC2+CE2=DE2,
又∵DE=OD.
∴(4-OD)2+22=OD2.
解得:OD=5 2 .
∴D点坐标为(0,5 2 ).
(2)如图①∵PM∥ED,
∴△APM∽△AED.
∴PM ED =AP AE ,
又知AP=t,ED=5 2 ,AE=5,
PM=t 5 ×5 2 =t 2 ,
又∵PE=5-t.
而显然四边形PMNE为矩形.
S矩形PMNE=PM•PE=t 2 ×(5-t)=-1 2 t2+5 2 t;
∴S四边形PMNE=-1 2 (t-5 2 )2+25 8 ,
又∵0<5 2 <5.
∴当t=5 2 时,S矩形PMNE有最大值25 8 .
(3)(i)若以AE为等腰三角形的底,则ME=MA
在Rt△AED中,ME=MA,
∵PM⊥AE,
∴P为AE的中点,
∴t=AP=1 2 AE=5 2 .
又∵PM∥ED,
∴M为AD的中点.
过点M作MF⊥OA,垂足为F,则MF是△OAD的中位线,
∴MF=1 2 OD=5 4 ,OF=1 2 OA=5 2 ,
∴当t=5 2 时,(0<5 2 <5),△AME为等腰三角形.
此时M点坐标为(5 2 ,5 4 ).
(ii)若以AE为等腰三角形的腰,则AM=AE=5
在Rt△AOD中,AD= OD2+AD2 = (5 2 )2+52 =5 5 2 .
过点M作MF⊥OA,垂足为F.
∵PM∥ED,
∴△APM∽△AED.
∴AP AE =AM AD .
∴t=AP=AM•AE AD =5×5 5 5 2 =2 5 ,
∴PM=1 2 t= 5 .
∴MF=MP= 5 ,OF=OA-AF=OA-AP=5-2 5 ,
∴当t=2 5 时,(0<2 5 <5),此时M点坐标为(5-2 5 , 5 ).
综合(i)(ii)可知,t=5 2 或t=2 5 时,以A,M,E为顶点的三角形为等腰三角形,
相应M点的坐标为(5 2 ,5 4 )或(5-2 5 , 5 ).
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