Question

如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上点

点C在y轴的正半轴上OA=5，OC=4。
（1）在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D、E两点的坐标；
（2）如图②，若AE上有一动点P（不与A、E重合）自A点沿AE方向向E点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t秒（0 <t<5），过P点作ED的平行线交AD于点M,过点M作AE的平行线交DE于点N,求四边形PMNE的面积S和时间t之间的函数关系式；当t取何值时，S有最大值？最大值是多少？
（3）在（2）的条件下，当t为何值时，以A、M、E为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点M的坐标。

Answer 1

（1）∵D在OC边上
∴设D的坐标为（y,0)
∵E在BC边上
∴设E的坐标为（x,4）
易证直角三角形AOD与直角三角形AED全等
∴EA=OA=5;
∴矩形OABC的两边AB=OC=4
根据勾股定理，直角三角形AEB的直角边EB=3。
X=OA-EB=5-3=2.
在直角三角形DEC中，DE=OD=y，CD=4-y，CE=x=2，y2+(4-y)2=4，
解得y=2.5。
D、E两点的坐标分别为（2.5，0）和（2，4）。
（2）略
（3）略
(*^__^*) 嘻嘻……，采不采纳，随你

Answer 2

（1）∵D在OC边上
∴设D的坐标为（y,0)
∵E在BC边上
∴设E的坐标为（x,4）
易证直角三角形AOD与直角三角形AED全等
∴EA=OA=5;
∴矩形OABC的两边AB=OC=4
根据勾股定理，直角三角形AEB的直角边EB=3。
X=OA-EB=5-3=2.
在直角三角形DEC中，DE=OD=y，CD=4-y，CE=x=2，y2+(4-y)2=4，
解得y=2.5。
D、E两点的坐标分别为（2.5，0）和（2，4）。
（2）略
（3）略
(*^__^*) 嘻嘻……，采不采纳，随你

Answer 3

解：（1）依题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴，
∴在Rt△ABE中，AE=AO=5，AB=4．
BE= AE2-AB2 = 52-42 =3．
∴CE=2．
∴E点坐标为（2，4）．
在Rt△DCE中，DC2+CE2=DE2，
又∵DE=OD．
∴（4-OD）2+22=OD2．
解得：OD=5 2 ．
∴D点坐标为（0，5 2 ）．

（2）如图①∵PM∥ED，
∴△APM∽△AED．
∴PM ED =AP AE ，
又知AP=t，ED=5 2 ，AE=5，
PM=t 5 ×5 2 =t 2 ，
又∵PE=5-t．
而显然四边形PMNE为矩形．
S矩形PMNE=PM•PE=t 2 ×（5-t）=-1 2 t2+5 2 t；
∴S四边形PMNE=-1 2 （t-5 2 ）2+25 8 ，
又∵0＜5 2 ＜5．
∴当t=5 2 时，S矩形PMNE有最大值25 8 ．

（3）（i）若以AE为等腰三角形的底，则ME=MA
在Rt△AED中，ME=MA，
∵PM⊥AE，
∴P为AE的中点，
∴t=AP=1 2 AE=5 2 ．
又∵PM∥ED，
∴M为AD的中点．
过点M作MF⊥OA，垂足为F，则MF是△OAD的中位线，
∴MF=1 2 OD=5 4 ，OF=1 2 OA=5 2 ，
∴当t=5 2 时，（0＜5 2 ＜5），△AME为等腰三角形．
此时M点坐标为（5 2 ，5 4 ）．
（ii）若以AE为等腰三角形的腰，则AM=AE=5
在Rt△AOD中，AD= OD2+AD2 = (5 2 )2+52 =5 5 2 ．
过点M作MF⊥OA，垂足为F．
∵PM∥ED，
∴△APM∽△AED．
∴AP AE =AM AD ．
∴t=AP=AM•AE AD =5×5 5 5 2 =2 5 ，
∴PM=1 2 t= 5 ．
∴MF=MP= 5 ，OF=OA-AF=OA-AP=5-2 5 ，
∴当t=2 5 时，（0＜2 5 ＜5），此时M点坐标为（5-2 5 ， 5 ）．
综合（i）（ii）可知，t=5 2 或t=2 5 时，以A，M，E为顶点的三角形为等腰三角形，
相应M点的坐标为（5 2 ，5 4 ）或（5-2 5 ， 5 ）．

Answer 4

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