Question

2011北京中考数学试题22题答案详解

Answer 1

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http://baike.baidu.com/view/462343.htm#3

三角形中线组成的三角形面积等于这个三角形面积的3/4.  

　给出一个△ABC.中线为CD,BF,AE.（如右图） 　　解：连接DE并倍长到P.连接BP,FP,EF. 　　∵DE=EP,∠BEP=∠DEC,BE=EC. 　　∴△DEC≌△PEB（SAS）. 　　∴CD=BP. S△DEC=S△PEB. 　　又∵DE平行且等于1/2AC,DE=EP. 　　∴EP平行且等于1/2AC. 　　即EP平行且等于AF. 　　∴平行四边形AEPF.（对边平行且相等的四边形为平行四边形） 　　∴AE=FP. S△EFP=S△AEF. 　　这样△ABC的三条中线CD,BF,EF就构成了△BFP. 　　∵BF为中线，平分△ABC面积. 　　∴S△BAF=S△BFC. 　　又∵EF为△BFC中线，平分△BFC面积. 　　∴S△BEF=S△EFC=1/4 S△ABC. 　　又∵CD为△ABC中线，平分△ABC面积. 　　∴S△ADC=S△BDC. 　　又∵DE平分△BDC面积. 　　∴S△BDE=S△DEC=1/4 S△ABC. 　　∴S△BEP=S△DEC=1/4 S△ABC. 　　∵AE为△ABC中线，平分△ABC面积. 　　∴S△BAE=S△AEC. 　　又∵EF平分△AEC. 　　∴S△AEF=S△EFC. 　　∴S△AFE=S△EFP=1/4 S△ABC 　　∵S△BFP=S△BEF+S△BEP+S△EFP 　　=1/4 S△ABC+1/4 S△ABC+1/4 S△ABC 　　=3/4 S△ABC