Question

圆O是以角ACB为直角的△ABC的内切圆，切点分别是DEF。

当EF∥AB时，设圆O的半径为1，DE、AC的延长线相交于点G,求GF的长。详解

Answer 1

连接OD,OE,OF,切点分别是DEF,
OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC,
OD=OE=OF=1，
OFCE为正方形，EF²=OF²+OE²=2，EF=√2,∠EFC=∠FEC=45°，
连接AO,BO,
EF∥AB，∠BAC=∠ABC=45°，
AC=BC,设AF=X,
AF+FC=BE+EC
X+1=BE+1
BE=AF=X,
AD²=DO²+AO²=OF²+AO²=AF²
AD=AF=X,同理,BD=BE=X,
AB²=AC²+BC²
(AD+BD)²=(AF+FC)²+(BE+EC)²
(2X)²=(X+1)²+(X+1)²
X=1+√2,[1-√2<0舍去]
GF:GA=EF:AD
GF:(GF+AF)=EF:AD
GF*(1+√2)=(GF+1+√2)*√2
GF=2+√2.