Question

初三奥数一元二次方程的问题

设已知关于x的方程ax^2+(a+2)x+9a=0有两个不相等的实数根X1，X2，且X1＜1＜X2，那么a的取值范围是—— 参考答案是这样的，设t=x-1,则原方程可化为at^2+(3a+2)t+11a+2=o，于是X1＜1＜X2等价于上面那个方程一根大于0一根小于0，关于t的那个方程有一正一负根的条件是t1t2=(11a+2)/a＜0，解得-2/11＜a＜0
看完这个参考答案我产生了3个疑问.1：设t=x-1,则原方程可化为at^2+(3a+2)t+11a+2=o这个怎么化？我试化了一下发现很麻烦，有没简单的办法？2：t1t2=(11a+2)/a＜0，解得-2/11＜a＜0，这是怎么解出来的？写下过程。3：这种方法很奇怪，以前都很少用过，这道题有没常规点的方法？PS：我知道我的问题有点多，所以提高了悬赏分，希望解答者们耐心地，详细一点地解答，谢谢了。

Answer 1

解：1、ax^2+(a+2)x+9a=0
→a(t+1)^2+(a+2)(t+1)+9a=0
→a（t^2+2t+1）+(at+a+2t+2)+9a=0
→at^2+2at+a+at+a+2t+2+9a=0
→at^2+(2at+at+2t)+(a+a+9a)+2=0
→at^2+(3a+2)t+11a+2=0
（2）
为什么要设t=x-1呢？
注意x1＜1＜x2
则x1-1＜0＜x2-1
→t1＜0＜t2
这样好判断一正一负，只需t1t2＜0（韦达定理哦）
(11a+2)/a＜0
→
①
{11a+2＞0
{a＜0
或②
{11a+2＜0
{a＞0
显然②不成立，①解得-2/11＜a＜0
（3）这是还元题目，我也很少见。主要就是让x1，x2在0的左右俩分罢了。习惯就好。
不懂，请追问，祝愉快O(∩_∩)O~

Answer 2

方程有两不相等的实数根，方程为一元二次方程，二次项系数a≠0
判别式>0
(a+2)²-36a²>0
35a²-4a-4<0
(5a-2)(7a+2)<0
-2/7<a<2/5且a≠0
由韦达定理，得
x1+x2=-(a+2)/a
x1x2=9
由x1<1<x2得
(x1-1)(x2-1)<0
x1x2-(x1+x2)+1<0
(a+2)/a+10<0
(11a+2)/a<0
-2/11<a<0

综上，得-2/11<a<0

Answer 3

t=x-1
x=t-1
代入整理即可
或者x1-1<0,x2-1>0
(x1-1)(x2-1)<0
x1x2-(x1+x2)+1<0
x1x2=9
x1+x2=-(a+2)/a也可以

(11a+2)/a<0
两边乘a²
a(11a+2)<0
两边除以11
a(a+2/11)<0
则a和a+2/11一正一负
a<a+2/11
所以a<0<a+2/11
所以-2/11<a<0

常规的就按我开始说的那种

Answer 4

先说我的方法吧。 a≠0
x1+x2=-(a+2)/a
x1*x2=9>0 所以x1,x2都为正根 即-(a+2)/a>0 所以a+2/a<0
即a(a+2)<0 -2<a<0
因为 X1＜1＜X2
所以(x1-1)*(x2-1)<0
x1*x2-(x1+x2)+1<0
10+(a+2)/a<0
11+2/a<0 即-2/11＜a
其次△>0 (a+2)^2-4*a*9a=-35a^2+4a+4>0
(5a-2)*(7a+2)<0
-2/7<a<2/5
在综合起来就 -2/11＜a<0
这是我的想法。。至于你喜欢的话，可以采纳。

Answer 5

疑问.1作为一题奥数题，复杂的计算是正常的了，所以只能慢慢解决，2：(11a+2)/a＜0，a只能是负数，如果a正数，分子也为正数，所以11a+2＜0，-2/11＜a＜0，3：当a>0，x=1时，a+(a+2)+9a>0,当a<0,x=1时，a+(a+2)+9a<0,所以-2/11＜a＜0