Question

锐角三角形ABC中，AD、BE、CF是三条高，DM垂直于BE于M，DN垂直于CF于N,求证：三角形DMN相似于三角形ABC

Answer 1

DM平行AC，所以角ADM=角DAC；DN平行AB，角ADN=角DAB；所以角NDM=角A
又DN/DC=BF/BC；DM/BD=CE/BC
cos角B=BF/BC=BD/AB；cos角C=CE/BC=DC/AC
所以DN=DC*(BF/BC)=DC*(BD/AB)=DC*BD/AB
DM=BD*(CE/BC)=BD*(DC/AC)=DC*BD/AC
所以DN/DM=AC/AB
又所以角NDM=角A
所以三角形DNM相似于三角形ABC

Answer 2

马上好

追答

证明：
取AD中点P，连接PM，PN，MN，设△ABC的垂心为O（即AD,BE,CF的交点）
由于△ABC是锐角三角形，故O位于其内部
由三角形垂心的性质，可得到比例：
AO/AD=B0/BE=C0/CF=2/3
AD=3AO/2,BE=3BO/2,CF=3CO/2
由于P,M,N分别为AD,BE,CF的中点，所以分别有AP=AD/2,BM=BE/2,CN=CF/2
所以AP=3AO/4,BM=3BO/4,CN=3CO/4
而OP=AO-AP=AO/4,OM=BO-BM=BO/4,ON=CO-CN=CO/4
故有OP/OA=OM/OB=ON/OC=1/4
于是，在△OPM与△OAB，△OMN与△OBC，△OPN与△OAC中，∠AOB，∠BOC，∠AOC分别为上述三对三角形的公共角，而它们各自公共角所对应的两边又对应成比例，故有△OPM∽△OAB，△OMN∽△OBC，△OPN∽△OAC
于是可得出它们各自的第三对边的比例也等于1/4，即：
PM/AB=MN/BC=PN/AC=1/4 ①
且有MN‖BC

设AD与MN的交点为Q，则根据MN与BC这对平行线成比例的截取线段OB，OD，OC的性质得到：OQ/OD=OM/OB=ON/OC=1/4
设OQ=k,则OD=4k,QD=(OD-OQ)=3k
由前方△ABC垂心O的性质得到另一个比例关系：AO/OD=2/1，于是可得AO=8k
由前方已经求出的比例关系：OP/AO=1/4，求出OP=2k，所以PQ=OP+OQ=3k
所以PQ=QD=3k，Q为PD中点
而由MN‖BC，且AD⊥BC，推出AD⊥MN于Q点
于是MN为线段PD的垂直平分线，故其上的点M，N到PD的两端点P，D的距离分别相等，即：PM=MD,PN=ND(此结论也可通过证明△QPM与△QDM，以及△QPN与△QDN全等得到)
将此结论代入①式，得：
MD/AB=MN/BC=ND/AC=1/4
由此可见，△DMN与△ABC中的三边分别对应成同一个比例，故可得：
△DMN∽△ABC