高中数学选修
椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的上顶点为A,左顶点为B,F为右焦点,过F作平行于AB的直线交椭圆于C,D两点,作平行四边形OCED,点E恰在椭圆上....
椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的上顶点为A,左顶点为B,F为右焦点,过F作平行于AB的直线交椭圆于C,D两点,作平行四边形OCED,点E恰在椭圆上. 1)求椭圆的e 2)若平行四边形OCED的面积为√6,求椭圆方程
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(1)焦点为F(c，0)，AB斜率为b/a
所以CD的方程为y=b(x-c)/a.
与椭圆联立后消去y，得：2x²-2cx-b²=0
CD的中点为G(c/2，-bc/2a)
点E(c，-bc/a)在椭圆上
将E代入椭圆,整理得2c²=a²
所以e=√2/2
(2)由(1)知CD的方程为y=√2·(x-c)/2，b=c,a=√2·c.
与椭圆联立消去y得2x²-2cx-c²=0
因为平行四边形OCED的面积为
S=c|yC-yD|=√2/2·√[(xC+xD)²-4xCxD]=√2·√(c²+2c²)/2=√6·c²/2=√6
所以c=√2，a=2，b=√2.
所以椭圆方程为x²/4+y²/2=1
所以CD的方程为y=b(x-c)/a.
与椭圆联立后消去y，得：2x²-2cx-b²=0
CD的中点为G(c/2，-bc/2a)
点E(c，-bc/a)在椭圆上
将E代入椭圆,整理得2c²=a²
所以e=√2/2
(2)由(1)知CD的方程为y=√2·(x-c)/2，b=c,a=√2·c.
与椭圆联立消去y得2x²-2cx-c²=0
因为平行四边形OCED的面积为
S=c|yC-yD|=√2/2·√[(xC+xD)²-4xCxD]=√2·√(c²+2c²)/2=√6·c²/2=√6
所以c=√2，a=2，b=√2.
所以椭圆方程为x²/4+y²/2=1
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