Question

高数二重积分和定积分问题？

如图求大佬指导，万分感谢。

Answer 1

此题的积分域D={(x,y)∣1≦x≦e；0≦y≦lnx}
此二重积分是求以域D为底，以曲面 z=f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积；不是求积分域D的面积！
所以你后面的说法是很错误的。积分方法有二：
①。先对y积分，再对x积分。对y积分时的上下限是这样取的：在积分域D内作垂直于x轴的直
线，此直线与D域的下边界x轴相交，而x轴的方程是y=0，故积分下限是0；往上与积分域D的
上边界y=lnx相交，故其上限为lnx；再对x积分时，则下限为1，上限为e(一般不会出错)；
即 I=∫<1,e>dx∫<0,lnx>f(x,y)dy;
②。先对x积分，再对y积分。在对x积分时其上下是这样取的：在积分域D内作水平线，此水平
线与D域的左边界y=lnx相交，其方程为x=e^y，故积分下限为e^y；此水平线与D域的右边界
x=e相交，因此其上限为x=e；再对y积分时，则下限为0，上限为1(一般不会出错)；
即I=∫<0,1>dy∫<e^y，e>f(x,y)dx;

Answer 2

定积分的本质是求曲边梯形的面积。它是把函数在某个区间[a,b]上的图像分成n份，用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，再求当n→+∞时所有这些矩形面积的和。就是对无穷个微小的小长方形f(x)△x求和。
二重积分的本质是求曲顶柱体体积，是一个以f(x)为顶的、以它投影为底面的弧顶柱体的体积。二重积分就相当于对无穷个微小的小柱体f(x)△x△y求和。
定积分明显只有一个积分变量，二重积分有2个积分变量，而且两者的本质不同，为什么你会把这两个混在一起谈呢？定积分的上下限就是积分变量x的取值范围[1,e]，为什么会跟y扯上关系呢？如果下限是e^y，而y本来也是在变化的，那求出来的定积分会是一个常数吗？二重积分和定积分一样都不是函数，而是一个数值哦。

Answer 3

概念不同