Question

关于勾股定理的知识

Answer 1

一．知识点归纳总结

1．勾股定理

内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为 a，b，斜边为 c，那么 a2 + b2 = c2 .

2.勾股定理的证明

勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法：

3.勾股定理的适用范围

勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形 .

4.勾股定理的应用

① 已知直角三角形的任意两边长，求第三边长时；

在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，则有

② 知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系；

③ 可运用勾股定理解决一些实际问题 .

5.勾股定理的逆定理

如果三角形三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形，其中 c 为斜边 .

① 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，

它通过 “数转化为形” 来确定三角形的可能形状，

在运用这一定理时，可用两小边的平方和 a2 + b2 与较长边的平方 c2 作比较 :

若它们相等时，以 a，b，c 为三边的三角形是直角三角形；

若 a2 + b2 < c2，时，以 a，b，c 为三边的三角形是钝角三角形；

若 a2 + b2 > c2，时，以 a，b，c 为三边的三角形是锐角三角形 .

②定理中 a，b，c 及 a2 + b2 = c2 只是一种表现形式，不可认为是唯一的，

如若三角形三边长 a，b，c 满足 a2 + c2 = b2，那么以 a，b，c 为三边的三角形是直角三角形，

但此时的斜边是 b 而不是 c 了 .

③勾股定理的逆定理在用问题描述时，

不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 .

6.勾股数

① 能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，

即 a2 + b2 = c2 中，a，b，c 为正整数时，称 a，b，c 为一组勾股数 ;

② 记住常见的勾股数可以提高解题速度，例如 3 , 4 , 5；6 , 8 , 10；5 , 12 , 13 等 ;

③ 用含字母的代数式表示 n 组勾股数：

7.勾股定理及其逆定理的应用

二、常见题型归纳总结

题型一：直接考查勾股定理

【例题1】在 △ABC 中，∠C = 90°．

⑴ 已知 AC = 6，BC = 8．求 AB 的长 ;

⑵ 已知 AB = 17，AC = 15，求 BC 的长 .

分析：画出图形直接应用勾股定理即可解题 .

题型二：应用勾股定理建立方程

【例题2】

⑴ 在 △ABC 中，∠ACB = 90°，AB = 5 cm，BC = 3 cm，CD⊥AB 于 D，则 CD＝ ；

⑵ 已知直角三角形的两直角边长之比为 3 ：4，斜边长为 15 cm，则这个三角形的面积为 ；

⑶ 已知直角三角形的周长为 30 cm，斜边长为 13 cm，则这个三角形的面积为 .

分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．

有时可根据勾股定理列方程求解 .

【例题3】如图，在 △ABC 中，∠ACB = 90°，∠1 = ∠2，CD = 1.5 , BD = 2.5 , 求 AC 的长 .

分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来 .

解析：设 AC = x , 易知 CD = DE = 1.5 , AC = AE = x ,

在 Rt△DEB 中，根据勾股定理可得：DE2 + BE2 = BD2 ,

即 1.5 × 1.5 + BE2 = 2.5 × 2.5 ，

解得 BE = 2 .

在 Rt△ACB 中，根据勾股定理可得：AC2 + BC2 = AB2 ,

即 x2 + 4 × 4 = （x + 2）2 ,

解得 x = 3 ,

∴ AC = 3 .

题型三：勾股定理在实际问题中的应用

【例题4】如图有两棵树，一棵高 8 m，另一棵高 2 m，两树相距 8 m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 m.

分析：根据题意建立数学模型，如图所示 AB = 8 m，CD = 2 m，BC = 8 m，

过点 D 作 DE⊥AB，垂足为 E，则 AE = 6 m，DE = 8 m .

在 Rt△AED 中，应用勾股定理，可得 AD = 10 m ，即小鸟至少飞了 10 m .

题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形

【例题5】已知三角形的三边长分别为 a，b，c，试判定 △ABC 是否为直角三角形 .

① a = 1.5，b = 2，c = 2.5 ;

② a = 5/4，b = 1，c = 2/3 .

题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用

【例题6】已知在 △ABC 中，AB = 13 cm，BC = 10 cm，BC 边上的中线 AD = 12 cm，

求证：AB = AC .

证明：

∵ AD 是 BC 边上的中线，BC = 10 cm ,

∴ BD = DC = 5 cm ,

在 △ADB 中，AB = 13 cm , AD = 12 cm , BD = 5 cm ,

∵ 5 × 5 + 12 × 12 = 13 × 13 ，

∴ BD2 + AD2 = AB2 ,

∴ △ADB 是直角三角形，

∴ ∠ADB = ∠ADC = 90° ，

∴ △ADB ≌ △ADC，（SAS）

∴ AB = AC .

三、巩固训练

1、一架方梯长 25 米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙 7 米，

（1）这个梯子的顶端距地面有多高？

（2）如果梯子的顶端下滑了 4 米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？

（3）当梯子的顶端下滑的距离与梯子的底端水平滑动的距离相等时，这时梯子的顶端距地面有多高？

2、如图，A、B 两个小集镇在河流 CD 的同侧，分别到河的距离为 AC = 10 千米，BD = 30 千米，

且 CD = 30 千米，现在要在河边建一自来水厂，向 A、B 两镇供水，铺设水管的费用为每千米 3 万，

请你在河流 CD 上选择水厂的位置 M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？

Answer 2

1、在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方。

2、勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。

3、勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。

Answer 3

1、勾股定理
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c ，那么 a2 + b2= c2。
公式的变形：a2 = c2- b2， b2= c2-a2 。
符号语言：
注意：前提一定是直角三角形.
a，b也可能是斜边，分清斜边直角边.
勾股定理的证明 ：勾股定理的证明方法很多，常见的的方法是面积相等---根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。

1．勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
2.适用范围
勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形
3.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边②知道直角三角形一边，可另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些问题

Answer 4

勾股定理的应用格致初级中学 金奕【教学目标】1、通过对一些典型题目的思考、解答，能正确、熟练的进行勾股定理有关计算，加深对勾股定理的理解应用。2、会用勾股定理解决一些简单的实际问题,逐步渗透“数形结合”和“转化”的数学思想，体会数学的应用价值和渗透数学思想给解题带来的便利。3、在勾股定理应用的学习中感受人类文明的力量和中华民族对人类文明的贡献，并了解勾股定理的重要性。4、积极参加数学学习活动，增强自主、合作意识，培养热爱祖国，尊重科学的高尚品质。【教学重点】勾股定理的应用【教学难点】分析思路，渗透数学思想【教学过程】一、情境引入：我国已故著名数学家华罗庚曾建议：让宇宙飞船带着几个数学图形飞到宇宙空间，其中一个就是边长为3：4：5的直角三角形．二、新课探索：1、斜拉桥上可以看到许多直角三角形如果知道桥面以上的索塔AB的高，怎么计算各条拉索AC、AD、AE……的长？2、如图，现要在此楼梯旁建造无障碍通道，经测量每格楼梯的高为11.25cm，宽20cm，你能求出通道的长度吗？ 3、机场入口的铭牌上说明，飞机的行李架是一个56cm×36cm×23cm的长方体空间。一位旅客携带一件长60cm的画卷，这件画卷能放入行李架吗？4、《九章算术》勾股章第6题 引葭(jiā)赴岸 “今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．”5、学生练习：风动红莲平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？6、下图是学校的旗杆,旗杆上的绳子垂到了地面,并多出了一段,现在老师想知道旗杆的高度,你能帮老师想个办法吗?请你与同伴交流并提出一个设计方案．
三、小结通过今天这节课的学习，你有什么收获？四、巩固拓展1、校园里有一块三角形空地，现准备在这块空地上种植草皮以美化环境，已经测量出它的三边长分别是13、14、15米，若这种草皮每平方米售价120元，则购买这种草皮至少需要支出多少？ 2、你能在数轴上画出表示 的点吗? ， 呢？思考：已知长度为 （n是大于1的整数）的线段，你能在作长度为 的线段吗？ 五、作业：练习册17.9（2） 教学反思：在勾股定理的第一课时中，学生主要是对勾股定理的探索与证明，而本节课是在学生掌握了直角三角形的性质和勾股定理的基础上对勾股定理的直接应用。在引入本节课内容是教师以一个新颖的视角作为切入点，
“在地球之外的浩瀚的宇宙中，有没有外星人？”，
“如果有的话，我们如何与他们进行联系？”
“我国著名的数学家华罗庚曾建议：让宇宙飞船带着几个数学图形飞到宇宙空间，其中一个就是边长为3：4：5的直角三角形．你知道他为什么会提出这样的建议吗？”
通过这样一系列的问题，牢牢抓住了学生的注意力，“古老的勾股定理，竟然成为了，我们与外星人之间的联络密码!”学生在感叹人类古老文明的同时体会到勾股定理的重要性。教师再通过一系列生活中随处可见的直角三角形实例，引起学生的共鸣，这是一条非常实用的几何定理。在接下去的教学中教师把勾股定理的实际应用放在比较突出的位置，学生通过对一些典型题目的思考、解答，正确、熟练的进行勾股定理有关计算，加深对勾股定理的理解应用。教师带领着学生们从横跨浦江两岸的斜拉桥到无障碍设施的改造到飞机的行李箱，巧妙的从水上到陆地到空中，让学生真切感受到勾股定理和我们日常生活密不可分，有着无穷的生命力。中国古代数学家较早独立发现并证明过勾股定理，而对它的应用更有许多独到之处．借着书上例3《九章算术》勾股章第6题：引葭(jiā)赴岸，师生互动，一起理解题意，分析数量关系，感受题目中折射出的方程思想、数形结合思想和我国古人简练而准确的数学语言。同时教师顺势而下，介绍了这一问题在世界数学史上很有影响．印度古代数学家婆什迦罗的《丽罗瓦提》一书中有按这一问题改编的＂风动红莲＂