Question

设动点P在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上，记D1P/D1B=λ，当∠APC为钝角时，λ的取值范围是

如题，设动点P在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上，记D1P/D1B=λ，当∠APC为钝角时，λ的取值范围是
答案（1/3，1），求详细过程，多谢

Answer 1

以D为原点、DC所在直线为x轴、DA所在直线为y轴、DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，并使点B1位于第一卦限内。
∵ABCD－A1B1C1D1是棱长为1的正方体，∴容易得出：B、D1的坐标依次是：
B（1，1，0）、D1（0，0，1）。得：向量D1B＝（1，1，－1）。
∵D1P/D1B＝λ，∴向量D1P＝λ向量D1B＝（λ，λ，－λ）。

∵ABCD－A1B1C1D1是棱长为1的正方体，∴容易得出：A、C的坐标依次是：
A（0，1，0）、（1，0，0），又D1的坐标为（0，0，1），
向量D1A＝（0，1，－1）、向量D1C＝（1，0，－1）、向量AC＝（1，－1，0）。

由向量D1P＝（λ，λ，－λ）、向量D1A＝（0，1，－1）、向量D1C＝（1，0，－1），得：
向量PA＝（－λ，1－λ，λ－1）、向量PC＝（1－λ，－λ，λ－1），
∴向量PA·向量PC＝λ^2－λ＋λ^2－λ＋λ^2－2λ＋1＝3λ^2－4λ＋1，
｜向量PA｜＝√［λ^2＋（1－λ）^2＋（λ－1）^2］＝√［λ^2＋2（λ－1）^2］，
｜向量PC｜＝√［（1－λ）^2＋λ^2＋（λ－1）^2］＝√［λ^2＋2（λ－1）^2］，
∴｜向量PA｜｜向量PC｜＝λ^2＋2（λ－1）^2。

∵∠APC为钝角，∴cos∠APC＜0，
∴cos∠APC＝向量PA·向量PC/（｜向量PA｜｜向量PC｜）＜0，
∴（3λ^2－4λ＋1）/［λ^2＋2（λ－1）^2］＜0，
∵λ^2＋2（λ－1）^2＞0，∴3λ^2－4λ＋1＜0，∴（3λ－1）（λ－1）＜0，∴1/3＜λ＜1。
即：满足条件的λ的取值范围是（1/3，1）。