Question

在数列｛an｝中，a1=3，a（n+1）=（an-n）^2+n-1，n∈N*，求通项an

Answer 1

设数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，Sn=nan-n（n-1）．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}满足：an=b13+1+b23×2+1+b33×3+1+…+bn3n+1，求数列{bn}的通项公式；
（Ⅲ）令cn=anbn4（n∈N*），求数列{cn}的前n项和Tn．
考点：数列递推式；数列的求和．
专题：计算题．
分析：（I）由题意已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，Sn=nan-n（n-1），已知前n项和求通项；
（II）在（I）中求出数列an的通项，利用列项相消法求解即可．
（III）利用（I）（II）得出cn=a
nb
n4=2n•2(3n+1)4=3n2+n，再利用正整数的平方和公式及等差数列的求和公式求解即得．
解答：解：（I）n≥2时，Sn=nan-n（n-1），
∴Sn-1=（n-1）an-1-（n-1）（n-2），
两式相减得an=nan-（n-1）an-1-2（n-1），则（n-1）an=（n-1）an-1+2（n-1），
∴an=an-1+2
∴{an}是首项为2，公差为2的等差数列，
∴an=2n；
（II）∵an=b
13+1+b
23×2+1+b
33×3+1+…+bn3n+1，
∴an-1=b
13+1+b
23×2+1+b
33×3+1+…+b
n−13(n−1)+1，
∴当n≥2时，有an-an-1=b
n3n+1，
由（I）得an-an-1=2，
∴bn=2（3n+1），
而当n=1时，也成立，
∴数列{bn}的通项公式bn=2（3n+1）（n∈N*），
（III）cn=a
nb
n4=2n•2(3n+1)4=3n2+n，
∴数列{cn}的前n项和Tn=3（12+22+32+…+n2）+（1+2+3+…+n）
=3×16n（n+1）（2n+1）+12n（n+1）
=16n（n+1）（4n+5）．...............................................................
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