Question

2010年全国初中数学竞赛试题答案及解析

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Answer 1

14.从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？ 解：设a,b,c,d是所取出的数中的任意4个数，则依题意有： a+b+c=33m, b+c+d=33n (其中m, n均为非负整数) 所以a-d=33(m-n),即所取出的数中任意两个数之差是33的倍数， 这就是说，所取出的每个数除以33所得的余数均相同，设这个余数为r(0≤r<33) 则有：a=33a 1 +r, b=33b 1 +r, c=33c 1 +r 所以a+b+c=33 (a 1 +b 1 +c 1 )+3r , 由33∣（a+b+c） 33∣33(a 1 +b 1 +c 1 ), 得出33∣3r, ∴11∣r 所以r=0, 11, 22, 而2010=33×60+30 ，故从1，2，…，2010中最多可取出11，11+1×33， 11+2×33，…，11+33×60共61个数，它们中任取三个数的和都能被33整除。