Question

△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，向量m=(-1,1),向量n=[cosBcosC,sinBsinC(-根号3/2)],且m⊥n

求A的大小
给出下列三个条件①a=1;②2c-(根号3+1)b=0;③B=45°，试从中再选择两个条件以确定△ABC，求出所确定的△ABC的面积。

Answer 1

解：∵向量m⊥向量n, ∴(-1)*cosBcosC+1*sinBsinC-1*√3/2=0.
cosBcosC-sinBsinC=-√3/2.
cos(B+C)=-√3/2.
-cosA=-√3/2.
cosA=√3/2.
(1) ∴∠A=π/6 (=30°).
(2) 由a=1和∠B=45° 构成△ABC.
由正弦定理，得：b/sinB=a/sinA, b=asinB/sinA.
b=1*sin45°/sin30°=√2.
∠C=180°-30°-45°=105°.
sinC=sin105°=si(60°+45°)=(√2/4)(√3+1). [a=1,b=√2, c=(√2/2)(√3+1), 三边符合三角形要求]
三角形ABC的面积的S=(1/2)absinC.
S=(1/2)*1*√2*[(√2/4)*√3+1)].
∴S=(1/4)(√3+1), (面积单位).

Answer 2

由于向量m,n垂直，所以向量m乘以向量n=0
即-cosBcosC+sinBsinC-二分之根号三=0
又因为公式cos(a+b) = cosacosb-sinasinb
所以cos(B+C)=负二分之根号三，所以B+C=120度
所以∠A=60°
若以条件1和3作为已知条件，则过B作边AC垂线，垂足为D，△ABD中∠ABD=30°
△BCD中，∠DBC=75°，又a=BC=1，sin15°=（根号6-根号2）/4
所以CD=1乘以sin15°，BD=1乘以cos15°
所以AD=BD除以根号3
S△ABC=S△ABD+S△BCD=（AD+CD)乘以BD除以2
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