Question

求极限lim（x→0)[cosx-(cosx)^(1/3)]/(sinx)^2，要用最低级的方法，要详细过程

不要用Taylor和高阶无穷小量，不要用L'Hospital，用这些我会做
我想问的就是，只用极限运算法则和等价无穷小量怎么解这题

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

楼上的解法有点烦，不如换元吧
令t=(cosx)^(1/3)，则[cosx-(cosx)^(1/3)]/(sinx)^2=(t^3-t)/(1-t^6)
然后因式分解即可

Answer 3

x->0, cosx-(cosx)^(1/3)=(cosx)^(1/3)[(cosx)^(2/3)-1]~[(cosx)^(2/3)-1]~[(cosx)^(4/3)+(cosx)^(2/3)+1][(cosx)^(2/3)-1]/3=[(cosx)^2-1]/3=(-1/3)(sinx)^2
x->0,[cosx-(cosx)^(1/3)]/(sinx)^2 ~ (-1/3)(sinx)^2/(sinx)^2 = -1/3
lim（x→0)[cosx-(cosx)^(1/3)]/(sinx)^2 = -1/3