Question

微分方程 A/(x[t]^2)==x''[t]

Answer 1

这是一个不显含自变量t的二阶微分方程。
A/x^2=x''(t)
令x'(t)=dx/dt=p
x''(t)=dx'/dt=dp/dt=dp/dx*(dx/dt)=pdp/dx
A/x^2=pdp/dx
分离变量，得：Adx/x^2=pdp
积分，得：A/x=-p^2/2+c1*
(-2A/x)+c1=p^2
p=±√[(-2A/x )+c1]
dx/dt=±√[(-2A/x )+c1]
√x/√[(-2A)+c1x] dx=±dt
积分，得通解为：[2/(c1)^(3/2)]{Aln︱√x+√[(√c1)x-2A]︱+((√x)/2)(√[(√c1)x-2A])}=±t +c2

Answer 2

A/x^2=x''(t)
x'(t)=dx/dt=p
x''(t)=dx'/dt=dp/dt=dp/dx*(dx/dt)=pdp/dx
A/x^2=pdp/dx
Adx/x^2=pdp
A/x=-p^2/2
-2A/x=p^2
p=√(-2A)/√x 或 p=-√(-2A)/√x
dx/dt=√(-2A)/√x dx/dt= -√(-2A)/√x
√xdx=√(-2A)dt 通解(2/3)√x^3= -√(-2A)t+C
通解(2/3)√x^3=√(-2A)t+C

Answer 3

dx'/dt=x'/t dx'/x'=dt/t ln|x'|=ln|t|+C1 |x'|=C2*|t| dx/dt=C2*t x=C2/2*t^2+C3 x=C4*t^2+C3 (C4不等于0)

Answer 4

dx'/dt=x'/t dx'/x'=dt/t ln|x'|=ln|t|+C1 |x'|=C2*|t| dx/dt=C2*t x=C2/2*t^2+C3 x=C4*t^2+C3 (C4不等于0)