Question

((a∧x²＋b∧x²)/(a∧x＋b∧x)）∧(1/x）求x趋向于0的极限

Answer 1

详情如图所示

有任何疑惑，欢迎追问

Answer 2

思路：Taylor expansion: base = 1 - (a^x+b^x-ax^(x^2) - bx^(x^2))/(a^x+b^x) ~ 1 - xln(ab)/2
答案： 1/√(ab)

Answer 3

分享一种解法，利用等价无穷小量替换求解。
x→0时，a^x²=e^(x²lna)~1+x²lna。同理，b^x²~1+x²lnb，a^x~1+xlna，b^x~1+xlnb。
∴a^x²+b^x²~2+x²ln(ab)，a^x+b^x~2+xln(ab)。∴(a^x²+b^x²)/(a^x+b^x)~1+[x(x-1)ln(ab)]/[2+xln(ab)]。
∴[(a^x²+b^x²)/(a^x+b^x)]^(1/x)=e^{(1/x)ln{1+[x(x-1)ln(ab)]/[2+xln(ab)]}}。
又，x→0，ln{1+[x(x-1)ln(ab)]/[2+xln(ab)]}~[x(x-1)ln(ab)]/[2+xln(ab)]。
∴原式=e^{lim(x→0)[(x-1)ln(ab)]/[2+xln(ab)]}=e^[(-1/2)ln(ab)]=(ab)^(-1/2)。
供参考。