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2020-11-18 · 知道合伙人教育行家
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对于反函数
性质
二阶导数,是原函数导数的导数,将原函数进行二次求导。一般的,函数y=f(x)的导数y‘=f’(x)仍然是x的函数,则y’=f’(x)的导数叫做函数y=f(x)的二阶导数。在图形上,它主要表现函数的凹凸性。
外文名
the second derivative test
定义
原函数导数的导数
计算公式
y‘‘=d^2y/dx^2即y=(y)
几何意义1
切线斜率变化的速度
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二阶导数记作即y''=(y')'。
例如:y=x²的导数为y'=2x,二阶导数即y'=2x的导数为y''=2。
几何意义
(1)切线斜率变化的速度,表示的是一阶导数的变化率。
(2)函数的凹凸性(例如加速度的方向总是指向轨迹曲线凹的一侧)。
这里以物理学中的瞬时加速度为例:
根据定义有
可如果加速度并不是恒定的,某点的加速度表达式就为:
a=limΔt→0 Δv/Δt=dv/dt(即速度对时间的一阶导数)
又因为v=dx/dt 所以就有:
a=dv/dt=d²x/dt² 即元位移对时间的二阶导数
将这种思想应用到函数中 即是数学所谓的二阶导数
f'(x)=dy/dx (f(x)的一阶导数)
f''(x)=d²y/dx²=d(dy/dx)/dx (f(x)的二阶导数)
对于反函数
设,则,应视为y的函数
=(复合函数求导,x是中间变量)
所以,反函数的二阶导数不是原函数二阶导数的倒数。
性质
(1)如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)(即二阶导数)>0恒成立,那么对于区间I上的任意x,y,总有:
f(x)+f(y)≥2f[(x+y)/2],如果总有f''(x)<0成立,那么上式的不等号反向。
几何的直观解释:如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)(即二阶导数)>0恒成立,那么在区间I上f(x)的图象上的任意两点连出的一条线段,这两点之间的函数图象都在该线段的下方,反之在该线段的上方。
(2)判断函数极大值以及极小值。
结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。当一阶导数等于0,而二阶导数大于0时,为极小值点。当一阶导数等于0,而二阶导数小于0时,为极大值点;当一阶导数和二阶导数都等于0时,为驻点。
(3)函数凹凸性。
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有一阶和二阶导数,那么,
(1)若在(a,b)内f''(x)>0,则f(x)在[a,b]上的图形是 凹的;
(2)若在(a,b)内f’‘(x)<0,则f(x)在[a,b]上的图形是 凸
性质
二阶导数,是原函数导数的导数,将原函数进行二次求导。一般的,函数y=f(x)的导数y‘=f’(x)仍然是x的函数,则y’=f’(x)的导数叫做函数y=f(x)的二阶导数。在图形上,它主要表现函数的凹凸性。
外文名
the second derivative test
定义
原函数导数的导数
计算公式
y‘‘=d^2y/dx^2即y=(y)
几何意义1
切线斜率变化的速度
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二阶导数记作即y''=(y')'。
例如:y=x²的导数为y'=2x,二阶导数即y'=2x的导数为y''=2。
几何意义
(1)切线斜率变化的速度,表示的是一阶导数的变化率。
(2)函数的凹凸性(例如加速度的方向总是指向轨迹曲线凹的一侧)。
这里以物理学中的瞬时加速度为例:
根据定义有
可如果加速度并不是恒定的,某点的加速度表达式就为:
a=limΔt→0 Δv/Δt=dv/dt(即速度对时间的一阶导数)
又因为v=dx/dt 所以就有:
a=dv/dt=d²x/dt² 即元位移对时间的二阶导数
将这种思想应用到函数中 即是数学所谓的二阶导数
f'(x)=dy/dx (f(x)的一阶导数)
f''(x)=d²y/dx²=d(dy/dx)/dx (f(x)的二阶导数)
对于反函数
设,则,应视为y的函数
=(复合函数求导,x是中间变量)
所以,反函数的二阶导数不是原函数二阶导数的倒数。
性质
(1)如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)(即二阶导数)>0恒成立,那么对于区间I上的任意x,y,总有:
f(x)+f(y)≥2f[(x+y)/2],如果总有f''(x)<0成立,那么上式的不等号反向。
几何的直观解释:如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)(即二阶导数)>0恒成立,那么在区间I上f(x)的图象上的任意两点连出的一条线段,这两点之间的函数图象都在该线段的下方,反之在该线段的上方。
(2)判断函数极大值以及极小值。
结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。当一阶导数等于0,而二阶导数大于0时,为极小值点。当一阶导数等于0,而二阶导数小于0时,为极大值点;当一阶导数和二阶导数都等于0时,为驻点。
(3)函数凹凸性。
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有一阶和二阶导数,那么,
(1)若在(a,b)内f''(x)>0,则f(x)在[a,b]上的图形是 凹的;
(2)若在(a,b)内f’‘(x)<0,则f(x)在[a,b]上的图形是 凸
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(1)如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)(即二阶导数)>0恒成立,那么对于区间I上的任意x,y,总有:
f(x)+f(y)≥2f[(x+y)/2],如果总有f''(x)<0成立,那么上式的不等号反向。
几何的直观解释:如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)(即二阶导数)>0恒成立,那么在区间I上f(x)的图象上的任意两点连出的一条线段,这两点之间的函数图象都在该线段的下方,反之在该线段的上方。
(2)判断函数极大值以及极小值。
结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。当一阶导数等于0,而二阶导数大于0时,为极小值点。当一阶导数等于0,而二阶导数小于0时,为极大值点;当一阶导数和二阶导数都等于0时,为驻点。
(3)函数凹凸性。
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有一阶和二阶导数,那么,
(1)若在(a,b)内f''(x)>0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的;
(2)若在(a,b)内f’‘(x)<0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的。
f(x)+f(y)≥2f[(x+y)/2],如果总有f''(x)<0成立,那么上式的不等号反向。
几何的直观解释:如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)(即二阶导数)>0恒成立,那么在区间I上f(x)的图象上的任意两点连出的一条线段,这两点之间的函数图象都在该线段的下方,反之在该线段的上方。
(2)判断函数极大值以及极小值。
结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。当一阶导数等于0,而二阶导数大于0时,为极小值点。当一阶导数等于0,而二阶导数小于0时,为极大值点;当一阶导数和二阶导数都等于0时,为驻点。
(3)函数凹凸性。
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有一阶和二阶导数,那么,
(1)若在(a,b)内f''(x)>0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的;
(2)若在(a,b)内f’‘(x)<0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的。
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为了描述现实世界中运动、过程等变化
着的现象,在数学中引入了函数,随着对
函数的研究,产生了微积分,微积分的创
立以自然科学中四类问题的处理直接相
关:
一、已知物体运动的路程作为时间的函
数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;
二、求曲线的切线;
三、求已知函数的最大值与最小值;
四、求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一它是研究
函数增减、变化快慢、最大(小)值等问
题最一般、最有效的工具。
导数研究的问题即变化率问题:研究某
个变量相对于另一个变量变化的快慢程
度.
1.甲乙两人走过的路程s1(4),s2()与时间t的关系如图,则在|0,4。|这个时间段内,甲乙
两人的平均速度v,v2.的关系是()
A.Ve>V.
B.Ve<V
C.Ve =B
D.大小关系不确定
2.一木块沿某一斜面自由滑下,测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系为
8=云
2,则=2时,此木块在水平方向的瞬时速度为(
B.1
3.汽车形式的路程s和时间:之间的函数图像如图,在时间段
[40,4],[4,4],[42,4]上的平均速度分别是,V2,,则三者的大小关系为
4.质点M按规律y=3+4t做直线运动,则质点的加速度a=
5.设函数f(x)=x2-1.
(1)求函数f(x)从当1变到1.1平均变化率;
(2)求f(1).
6.已知函数y=
·求y'__,y'-4
7.柏油路是用沥青和大小石子等材料混合后铺成的,铺路工人铺路时要对沥青加热使之由
固体变成粘稠液体状,如果开始加热后第x小时的沥青温度(单位:C)为
80x3+20(0≤x≤1)
(x2-2x-244)(1<x≤8)
(1)求开始加热后15分钟和30分钟时沥青温度的瞬时变化率;
(2)求开始加热后第4小时和第6小时沥青温度的瞬时变化率.
着的现象,在数学中引入了函数,随着对
函数的研究,产生了微积分,微积分的创
立以自然科学中四类问题的处理直接相
关:
一、已知物体运动的路程作为时间的函
数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;
二、求曲线的切线;
三、求已知函数的最大值与最小值;
四、求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一它是研究
函数增减、变化快慢、最大(小)值等问
题最一般、最有效的工具。
导数研究的问题即变化率问题:研究某
个变量相对于另一个变量变化的快慢程
度.
1.甲乙两人走过的路程s1(4),s2()与时间t的关系如图,则在|0,4。|这个时间段内,甲乙
两人的平均速度v,v2.的关系是()
A.Ve>V.
B.Ve<V
C.Ve =B
D.大小关系不确定
2.一木块沿某一斜面自由滑下,测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系为
8=云
2,则=2时,此木块在水平方向的瞬时速度为(
B.1
3.汽车形式的路程s和时间:之间的函数图像如图,在时间段
[40,4],[4,4],[42,4]上的平均速度分别是,V2,,则三者的大小关系为
4.质点M按规律y=3+4t做直线运动,则质点的加速度a=
5.设函数f(x)=x2-1.
(1)求函数f(x)从当1变到1.1平均变化率;
(2)求f(1).
6.已知函数y=
·求y'__,y'-4
7.柏油路是用沥青和大小石子等材料混合后铺成的,铺路工人铺路时要对沥青加热使之由
固体变成粘稠液体状,如果开始加热后第x小时的沥青温度(单位:C)为
80x3+20(0≤x≤1)
(x2-2x-244)(1<x≤8)
(1)求开始加热后15分钟和30分钟时沥青温度的瞬时变化率;
(2)求开始加热后第4小时和第6小时沥青温度的瞬时变化率.
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