Question

伴随矩阵的秩

Answer 1

A的秩小于n-1时，A*的秩为0，A的秩等于n-1时，A*的秩为1。

（1）当r(A)=n时，|A|≠0,所以|A*|≠0，所以r(A*)=n；

（2)  当r(A)=n-1时，|A|=0，但是矩阵A中至少存在一个n-1阶子 式不为0（秩的定义），所以r(A*)大于等于1（A*的定义）；为了证明r(A*)=1，下面证明  r(A*) 小于等于1。     

定义

参见：子式和余子式、余因子矩阵和转置矩阵

设R是一个交换环，A是一个以R中元素为系数的n×n的矩阵。A的伴随矩阵可按如下步骤定义：

定义：A关于第i行第j列的余子式（记作Mij）是去掉A的第i行第j列之后得到的(n− 1)×(n− 1)矩阵的行列式。

定义：A的余子矩阵是一个n×n的矩阵C，使得其第i行第j列的元素是A关于第i行第j列的代数余子式。

Answer 2

分析如图，A的秩小于n-1时，A*的秩为0，A的秩等于n-1时，A*的秩为1。经济数学团队帮你解答，请及时采纳。谢谢！

追问

为什么A11不等于0，A^*就不等于0，然后伴随矩阵的秩等于1呢？

追答

A*的第一行第一列元素就是A11，所以A*≠0。在r(A)<n的条件下，A*的秩只能是0或1，A*≠0，所以r(A*)≠0，从而r(A*)=1。