Question

二次函数都有哪些性质？

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Answer 1

　　二次函数的性质主要是表现在抛物线的性状上。下面从二次函数的三种表达式的参数入手，讨论二次函数性质。

　　1、二次函数y=ax^2+bx+c (a不等于0)中，

　　(1)a的符合性质决定了抛物线的开口方向；当a>0时，开口向上， 函数下凹；当a<0时，开口向下， 函数上凸.

　　(2)a的符合性质又决定了函数的单调性；当a>0时，先减后增；当a<0时，先增后减.

　　(3)a的绝对值大小解决了抛物线开口的大小，绝对值越大，开口就越大.

　　(4)c是抛物线与y轴的交点的纵坐标。即抛物线与y轴交于点(0,c).

　　(5)抛物线有轴对称性。其对称轴为y=-b/(2a)，顶点坐标是(-b/(2a),(4ac-b^2)/(4a)).

　　2、二次函数的顶点式y=a(x-h)^2+k (a不等于0)中，

　　(1)抛物线的对称轴是y=h;

　　(2)抛物线的顶点坐标是(h,k).

　　(3)当a>0时，函数有最小值y=k; 当a<0时， 函数有最大值y=k;

　　(4)当h=0时，函数是偶函数.

　　3、二次函数的交点式y=a(x-x1)(x-x2) (a不等于0)中，

　　x1, x2表示抛物线与x轴的两个交点的横坐标，即抛物线与横轴交于点(x1,0)和点(x2,0).

　　4、二次函数和一元二次方程一样，有判别式b^2-4ac，

　　(1)当b^2-4ac>0时，抛物线与x轴有两个交点；

　　(2)当b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有一个交点；顶点式中h=0；

　　(3)当b^2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点；抛物线没有交点式.

Answer 2

二次函数具有以下的性质：增减性、对称性、最值、截距。用描点法画二次函数的图形，由二次函数的图形得出二次函数的性质。

Answer 3

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，(4ac-b2)/4a )
当-b/2a=0，〔即b=0〕时，P在y轴上；当Δ= b2-4ac=0时，P在x轴上

Answer 4

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a ) 当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。 |a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。 抛物线与y轴交于（0，c）。
6.抛物线与x轴交点个数 Δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。 Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。