Question

等边三角形ABC中，AO是角BAC的角平分线，D为AO 上一点，以CD为一边且在CD的下方作等边三角行CDE，连接BE，

等边三角形ABC中，AO是角BAC的角平分线，D为AO 上一点，以CD为一边且在CD的下方作等边三角行CDE，连接BE，延长BE至Q，P为BQ上一点，连接CP、CQ使CP=CQ=5，若BC=8时，求PQ的长

Answer 1

易得⊿ACD≌⊿BCE，
AO是∠BAC的平分线，可得∠CAD=30°
因为全等，所以∠CBE=30°
过C作CM⊥BQ于M
此时构造了 1 2 ∨3 的三角形 △BCM
因为BC=8 所以CM=4
因为CP=5 所以根据勾股定理 可得 PM=3
因为CP=CQ CM⊥PQ 三线合一 可得PM=MQ
所以PQ=2×3=6

看得懂吗

Answer 2

∵⊿ABC与⊿CDE都是等边三角形 ∴CA=CB CD=CE ∠ACB=∠DCE ∴∠ACD=∠BCE
∴⊿ACD≌⊿BCE（ASA） ∴∠CBE=∠CAD 而∠CAD=½∠CAB=30°
过点C作CM⊥BC于M点 ∵在RT⊿BCM中 ∠CBE=30° ∴CM=½BC=4
而在RT⊿CPM中PC=5 CM=4 ∴PM=3 在等腰三角形 CPQ中PM⊥PQ ∴PQ=2PM=6

Answer 3

解：（1）∵△ABC与△DCE是等边三角形，
∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD+∠DCB=∠ECB+∠DCB=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；

（2）过点C作CH⊥BQ于H，
∵△ABC是等边三角形，AO是角平分线，
∴∠DAC=30°，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠QBC=∠DAC=30°，
∴CH=BC=×8=4，
∵PC=CQ=5，CH=4，
∴PH=QH=3，
∴PQ=6．