Question

已知二次函数y=ax 2 +bx+c（a≠0）的图象经过点（1，0），（5，0），（3，﹣4）． （1）求该二次函数的

已知二次函数y=ax 2 +bx+c（a≠0）的图象经过点（1，0），（5，0），（3，﹣4）． （1）求该二次函数的解析式； （2）当y＞﹣3，写出x的取值范围； （3）A、B为直线y=﹣2x﹣6上两动点，且距离为2，点C为二次函数图象上的动点，当点C运动到何处时△ABC的面积最小？求出此时点C的坐标及△ABC面积的最小值．

Answer 1

解：（1）∵点（1，0），（5，0），（3，﹣4）在抛物线上， ∴ ，解得 。 ∴二次函数的解析式为：y=x 2 ﹣6x+5。 （2）在y=x 2 ﹣6x+5中，令y=﹣3，即x 2 ﹣6x+5=﹣3， 整理得：x 2 ﹣6x+8=0，解得x 1 =2，x 2 =4。 结合函数图象，可知当y＞﹣3时，x的取值范围是：x＜2或x＞4。 （3）设直线y=﹣2x﹣6与x轴，y轴分别交于点M，点N， 令x=0，得y=﹣6；令y=0，得x=﹣2， ∴M（﹣3，0），N（0，﹣6）。 ∴OM=3，ON=6，由勾股定理得：MN= ， ∴ 。 设点C坐标为（x，y），则y=x 2 ﹣6x+5。。 过点C作CD⊥y轴于点D， 则CD=x，OD=﹣y，DN=6+y。 过点C作直线y=﹣2x﹣6的垂线，垂足为E，交y轴于点F， 在Rt△CDF中，DF=CD?tan∠MNO= x， 。 ∴FN=DN﹣DF=6+y﹣ x。 在Rt△EFN中，EF=FN?sin∠MNO= （6+y﹣ x）， ∴CE=CF+EF= x+ （6+y﹣ x）。 ∵C（x，y）在抛物线上， ∴y=x 2 ﹣6x+5，代入上式整理得：CE= （x 2 ﹣4x+11）= （x﹣2） 2 + 。 ∴当x=2时，CE有最小值，最小值为 。 当x=2时，y=x 2 ﹣6x+5=﹣3，∴C（2，﹣3）。 ∴△ABC的最小面积为：  AB?CE= ×2× = 。 ∴当C点坐标为（2，﹣3）时，△ABC的面积最小，面积的最小值为 。

试题分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式。 （2）求出y=3时x的值，结合函数图象，求出y＞﹣3时x的取值范围。 （3）△ABC的底边AB长度为2，是定值，因此当AB边上的高最小时，△ABC的面积最小．如解答图所示，由点C向直线y=﹣2x﹣6作垂线，利用三角函数（或相似三角形）求出高CE的表达式，根据表达式求出CE的最小值，这样问题得解。