Question

抛物线y 2 =2px（p＞0）的焦点为F，A、B在抛物线上，且∠AFB= π 2 ，弦AB的中点M在其准线上

抛物线y 2 =2px（p＞0）的焦点为F，A、B在抛物线上，且∠AFB= π 2 ，弦AB的中点M在其准线上的射影为N，则 |MN| |AB| 的最大值为______．

Answer 1

设|AF|=a，|BF|=b，由抛物线定义， 得AF|=|AQ|，|BF|=|BP| 在梯形ABPQ中，∴2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b． 由勾股定理得，|AB| 2 =a 2 +b 2 配方得，|AB| 2 =（a+b） 2 -2ab， 又ab≤（ a+b 2 ） 2 ， ∴（a+b） 2 -2ab≥（a+b） 2 - (a+b ) 2 2 得到|AB|≥ 2 2 （a+b）． 所以 |MN| |AB| ≤ a+b 2 2 (a+b) 2 = 2 2 ，即 |MN| |AB| 的最大值为 2 2 ． 故答案为： 2 2 ．