Question

（ （本小题满分14分）已知函数 (1) 当 时，求函数 的最值；(2) 求函数 的单调区间；(3) 试说明是否

（ （本小题满分14分）已知函数 (1) 当 时，求函数 的最值；(2) 求函数 的单调区间；(3) 试说明是否存在实数 使 的图象与 无公共点.

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Answer 1

解：（1） 函数 f ( x )= x 2 - ax - a ln( x -1)( a ∈R)的定义域是(1,+∞)……………1分 当 a =1时， ，所以 f ( x )在 为减函数 …………3分 在 为增函数，所以函数 f ( x )的 最小值为 = .…………………5分 (2) ……………………………6分 若 a ≤0时，则 f ( x ) 在(1,+∞)恒成立，所以 f ( x )的增区间为(1, +∞).…………………………………………………………8分 若a ＞0，则 故当 ， ，……… 9分 当 时， f ( x ) , 所以 a ＞0时 f ( x )的减区间为 ， f ( x )的增区间为 .………10分 (3) a ≥1时，由（1）知 f ( x )在(1,+∞)的最小值为 ，…11分 令 在 [1,+∞)上 单调递减， 所以 则 >0，…………12分 因此存在实数 a ( a ≥1)使 f ( x )的最小值大于 ， 故存在实数 a ( a ≥1)使 y = f ( x )的图象与 无公共点.………14分

略