Question

（2005?宜昌）如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC交⊙O于点F．（1）AB与AC

（2005?宜昌）如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC交⊙O于点F．（1）AB与AC的大小有什么关系？为什么？（2）按角的大小分类，请你判断△ABC属于哪一类三角形，并说明理由．小明按下面的方法作出了∠MON的平分线：①反向延长射线OM；②以点O为圆心，任意长为半径作圆，分别交∠MON的两边于点A、B，交射线OM的反向延长线于点C；③连接CB；④以O为顶点，OA为一边作∠AOP=∠OCB．（1）根据上述作图，射线OP是∠MON的平分线吗？并说明理由．（2）若过点A作⊙O的切线交射线OP于点F，连接AB交OP于点E，当∠MON=60°、OF=10时，求AE的长．





Answer 1

解：（1）连接AD．
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∵BD=CD，
∴AB=AC；

（2）连接AD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∴∠B＜∠ADB=90°
∠C＜∠ADB=90°
∴∠B、∠C为锐角，
∵AC和⊙O交于点F，连接BF，
∴∠A＜∠BFC=90°
∴△ABC为锐角三角形；

①∵∠AOF=∠OCB
又∵∠BOA=2∠OCB
∴∠AOF=∠BOF
∴OP为∠BOA的角平分线

②∵∠MON=60°
∴△AOB为正三角形
∵OP平分∠MON
∴AE=BE=

1

2

AB
∵OP平分∠BOD
∴∠BOF=30°
又∵AF与⊙O相切
∴AF⊥AO
∵AO=5

3

∴AB=AO=5

3

∴AE=

5 3

2

．