Question

定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且当x属于[-1,0]时，f(x)=(1/2)^x。则f(以二为底8的对数)等于

A3
B,1/8
C-2
D2
我用了三种方法，算出了两个答案，选了C。下面这个方法不知道哪里错了，请指出，谢谢。
我用f(3)=f(2+1)=-f(2)
f(2)=f(1+1)=-f(1)
f(1)=f(0+1)=-f(0)
而f(0)=1,所以算出f(3)=-1

Answer 1

问题出在：当x属于[-1,0]时，f(x)=(1/2)^x，这里的区间[-1,0]不应该是闭区间。因为当x=-1时
f(0)=-f(-1)
而f(0)=1
f(-1)=2
这是矛盾的。

追问

呵呵，你是说题目出错了，0应该是开区间吗？

追答

对，应该是半开半闭区间[-1,0）

Answer 2

f(x+2)=f((x+1)+1)=-f(x+1)=f(x)
T=2
f(3)=f(1)=f(-1)=2

追问

我看懂你的啦，可是我这样一步步写下来又错在哪里啦？

追答

f(1)≠f(0)

Answer 3

应该选D。
f(x+1)=-f(x)
f(x)=-f(x-1)
f(x)=-f(x+1)
所以f(x+1)=f(x-1)
周期T=2
根据偶函数性质和周期可知，

f(3)=f(1)=f(-1)=2

Answer 4

第二步

追问

详细一点，哪里出错了，又要怎么改？谢谢

追答

f(x+2)=f((x+1)+1)=-f(x+1)=f(x)
T=2
f(3)=f(1)=f(-1)=2