Question

已知向量a=(sinx，cosx)，b=(6sinx+cosx，7sinx-2cosx)，设函数f(x)=a*b.(1)求函数f(x)的最大值(2

(2)在锐角三角形ABC中A，B，C的对边分别为a，b，c，f(A)=6，且三角形ABC的面积为3，b+c=2+3根号2，求a值

Answer 1

解：f(x)=a*b=sinx(6sinx+cosx)+cosx(7sinx-2cosx)=8sinxcosx+6(sinx)^2-2(cosx)^2
=4sin2x+6-8(cosx)^2=4sin2x+6-4*(cos2x+1)=4sin2x-4cos2x+2
=4√2(sin2xcosπ/4-cos2xsinπ/4)+2=4√2sin(2x-π/4)+2≤4√2+2
f(A)=6=4√2sin(2A-π/4)+2
得sin(2A-π/4)=√2/2
得2A-π/4=π/4于是A=π/4
S△ABC=1/2*bcsinA=3得bc=6√2
b+c=2+3√2
则a=√(b^2+c^2-2bccosA)=√[(b+c)^2-2bc(1+cosA)]=√[(2+3√2)^2-2*6√2*(1+√2/2)]=√10

追问

8sinxcosx怎么变形

追答

倍角公式：
sin2x=2sinxcosx
cos2x=2(cosx)^2-1
tan2x=2tanx/[1-(tanx)^2]
和差角公式
sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny
sin(x-y)=sinxcosy-cosxsiny
cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny
cos(x-y)=cosxcosy+sinxsiny
tan(x+y)=(tanx+tany)/(1-tanxtany)
tan(x-y)=(tanx-tany)/(1+tanxtany)
还有半角公式：
sin(x/2)=±√[(1-cosx)/2]
sin(x/2)=±√[(1+cosx)/2]
tan(x/2)=sin(x/2)/cos(x/2)=2sin(x/2)cos(x/2)/[2cos(x/2)^2]=sinx/(1+cosx)

Answer 2

1.f(x)=6sinxsinx+sinxcosx+7sinxcosx-2cosxcosx=3(1-cos2x)+4sin2x-(1+cos2x)
=4sin2x-4cos2x+2=4√2sin(2x+π/4)+2，所以最大值为4√2+2
2.f(A)=4√2sin(2A+π/4)+2=6，所以2A+π/4=3π/4 A=π/4
因为1/2bcsinA=3，所以bc=6√2，又b+c=2+3√2，所以b=2 c=3√2或b=3√2 c=2
所以由余弦定理可以求得a=√10

追问

6sinxsinx+sinxcosx+7sinxcosx-2cosxcosx=3(1-cos2x)+4sin2x-(1+cos2x)
？？、、、、、、、？

Answer 3

搞忘记了，不好意思，下面的答案应该是对的吧！