Question

探究题：（1）计算下列各题；①（x-1）（x+1）=______；②（x-1）（x2+x+1）=______；③（x-1）（x3+x2+x

探究题：（1）计算下列各题；①（x-1）（x+1）=______；②（x-1）（x2+x+1）=______；③（x-1）（x3+x2+x+1）=______．（2）猜想：（x-1）（xn+xn-1+xn-2+…+x+1）的结果是______．（3）证明你的猜想．

Answer 1

此题运用的是韦达定理的推广。
在2次方程情形，韦达定理有一个结论是两根之和等于（-b/a），推广到3次方程有三根之和：x1+x2+x3=-b/a（其中a为最高次项系数，b为次高项系数，依此类推，初等代数学书中会有证明）。
由于此题已知的方程中，2次项系数b是0，所以
x1+x2+x3=0。
对要计算的行列式采用“全加法”（不知道你们的线性代数老师是不是这么叫的……）：即对要计算的行列式把每行元素都加起来放到第一列，则原行列式的第一列元素全部变为
x1+x2+x3，这个值是0，这样原行列式变为一个第一列全部是0的行列式，所以此题最终的答案为0.

Answer 2

（1）①（x-1）（x+1）=x²-1；
②（x-1）（x²+x+1）=x³-1；
③（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1；

（2）（x-1）（xⁿ+x^n-1+x^n-2+…+x+1）=xⁿ⁺¹-1；

（3）原式=xⁿ⁺¹+xⁿ+x^n-1+…+x²+x-xⁿ-x^n-1-…-x-1
=xⁿ⁺¹-1．