Question

如图，△ABC与△A′B′C′的三边分别为a、b、c与a′、b′、c′，且∠B=∠B′，∠A+∠A′=180°．试证：aa

如图，△ABC与△A′B′C′的三边分别为a、b、c与a′、b′、c′，且∠B=∠B′，∠A+∠A′=180°．试证：aa′=bb′+cc′．

Answer 1

证明：作△ABC的外接圆，过C作CD∥AB交圆于D，连接AD和BD，如图所示．
∵∠A+∠A'=180°=∠A+∠D，
∠BCD=∠B=∠B'，
∴∠A'=∠D，∠B'=∠BCD．
∴△A'B'C'∽△DCB．
有

A′B′

DC

=

B′C′

CB

=

A′C′

DB

，
即

c′

DC

=

a′

a

=

b′

DB

．
故DC=

ac′

a′

，DB=

ab′

a′

．
又AB∥DC，可知BD=AC=b，BC=AD=a．
从而，由托勒密定理，得
AD?BC=AB?DC+AC?BD，
即a²=c?

ac′

a′

+b?

ab′

a′

．
故aa'=bb'+cc'．