Question

如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，E、F分别是AD、CD上的两个动点，且满足AE+CF=2．连接BD．（1

如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，E、F分别是AD、CD上的两个动点，且满足AE+CF=2．连接BD．（1）图中有几对三角三全等？试选取一对全等的三角形给予证明；（2）判断△BEF的形状，并说明理由．（3）当△BEF的面积取得最小值时，试判断此时EF与BD的位置关系．

Answer 1

（1）△BAE≌△BDF，△BDE≌△BCF，△BAD≌△BCD，共三对；
证明：△BDE≌△BCF．
在△BDE和△BCF中，

BD＝BC ∠C＝∠BDE DE＝CF

，
故△BDE≌△BCF．

（2）△BEF为正三角形．
理由：∵△BDE≌△BCF，
∴∠DBE=∠CBF，BE=BF，
∵∠DBC=∠DBF+∠CBF=60°，
∴∠DBF+∠DBE=60°即∠EBF=60°，
∴△BEF为正三角形；

（3）设BE=BF=EF=x，
则S_△BEF=

1

2

?x?x?sin60°=

3

4

x²，
当BE⊥AD时，x_最小=2×sin60°=

3

，此时△BEF的面积最小，
此时点E、F分别位于AD、CD的中点，
故此时BD垂直平分EF．