Question

如图，F1，F2是双曲线C：x2a2?y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右两支分别交于A，

如图，F1，F2是双曲线C：x2a2?y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，若|AB|：|BF2|：|AF2|=2：3：4，则双曲线的离心率为（　　）A．4B．15C．2D．3

Answer 1

∵|AB|：|BF₂|：|AF₂|=2：3：4，不妨设|AB|=2，|BF₂|=3，|AF₂|=4，
△ABF₂中，由余弦定理得cos∠ABF₂=

4+9?16

2×2×3

=-

1

4

．
由双曲线的定义得：|BF₁|-|BF₂|=2a，|AF₂|-|AF₁|=2a，
∴|BF₁|-|BF₂|=|AF₂|-|AF₁|，|BF₁|=|AF₁|+|AB|=|AF₁|+2
可得|AF₁|+2-3=4-|AF₁|，解之得|AF₁|=

5

2

．
∴2a=|AF₂|-|AF₁|=4-

5

2

=

3

2

，得a=

3

4

．
∵△BF₁F₂中，|F₁F₂|²=|BF₁|²+|BF₂|²-2|BF₁|?|BF₂|cos∠ABF₂，
∴|F₁F₂|²=（

9

2

）²+3²-2×

9

2

×3×（-

1

4

）=36，可得|F₁F₂|=2c=6，得c=3
因此，双曲线的离心率e=

c

a

=

3

3 4

=4．
故选：A．