Question

如图所示，长为L的绝缘细线，一端悬于O点，另一端连接一质量为m的带负电小球，置于竖直向下的匀强电场中

如图所示，长为L的绝缘细线，一端悬于O点，另一端连接一质量为m的带负电小球，置于竖直向下的匀强电场中，在O点正下方钉一个钉子O′，已知小球受到的电场力是重力的34，现将细线向右水平拉直后从静止释放，细线碰到钉子后要使小球刚好绕钉子O′在竖直平面内作圆周运动，求：（1）OO′长度；（2）如果把此电场改为水平向左（场强大小不变），使细线碰到钉子后小球刚好绕钉子O′在竖直平面内作圆周运动，则OO′长度又为多少？

Answer 1

（1）设小球刚好绕钉子O′在竖直平面内作圆周运动时轨道半径为r，则
在最高点有：mg-

3

4

mg=m

v2

r

，即得v²=

1

4

gr  
对于小球从开始运动到最高点的整个过程，由动能定理得：
   （mg-

3

4

mg）（L-2r）=

1

2

mv2 
联立得：r=

2

5

L
故OO′长度为 OO′=L-r=

3

5

L；
（2）由于重力场和电场力做功都与路径无关，因此可以把两个场叠加起来看成一个等效力场来处理．
重力和电场力的合力大小为 F=

(mg)2+( 3 4 mg)2

=

5

4

mg
设此合力与水平方向的夹角为θ，则tanθ=

mg

Eq

=

mg

3 4 mg

=

4

3

，得：θ=53°
在等效力场中，当合力F的方向通过点O′时，小球恰好通过绕O′点做圆周运动的“最高点”，设此点为Q，圆周的半径为R，则在Q点应满足：F=m

v 2 Q

R

即有：

5

4

mg=m

v 2 Q

R

，即

v

2 Q

=

5

4

gR
从开始到Q点的过程，由动能定理得：
 mg[（L-2R）+R（1-sin53°）]-qE（L+Rcos53°）=

1

2

m

v

2 Q

又qE=

3

4

mg
联立以上可解得：R=

2

23

L
故OO′=L-R=

21

23

L
答：
（1）OO′长度为

3

5

L．
（2）OO′长度为

21

23

L．