Question

已知数列{an}的前n项和为Sn=-n2+2kn（k∈N+），且Sn的最大值为4．（1）求数列{an}的通项an；（2）令bn=5?

已知数列{an}的前n项和为Sn=-n2+2kn（k∈N+），且Sn的最大值为4．（1）求数列{an}的通项an；（2）令bn=5?an2n，求数列{bn}的前n项和．

Answer 1

（1）由条件知n＝?

2k

2(?1)

＝k时，S_n有最大值4，所以-k²+2k?k=4k=2，k=-2（舍去）   由条件知Sn＝?n2+4n当n=1时，a₁=S₁=3
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=5-2n经验证n=1时也符合a_n=5-2n
故数列{a_n}的通项公式为a_n=5-2n（n∈N₊）
（2）由（1）知bn＝

n

2n?1

设数列{b_n}的前项和为T_nTn＝

1

20

+

2

21

+

3

22

+

4

23

+…+

n

2n?1

，

1

2

Tn＝

1

21

+

2

22

+

3

23

+

4

24

+…+

n

2n

，
两式相减得

1

2

Tn＝

1

20

+

1

21

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n?1

?

n

2n

=

1?( 1 2 )n

1? 1 2

?

n

2n

所以，Tn