Question

如图，△ABC及△CDE均为等边三角形，B、C、E、在同一直线上．AE与BD相交于O，则下列结论：①△ACE≌△BCD

如图，△ABC及△CDE均为等边三角形，B、C、E、在同一直线上．AE与BD相交于O，则下列结论：①△ACE≌△BCD；②∠AOB=∠ACB；③AC∥DE；④OC平分∠ACD中正确的有（　　）A．①②③④B．①②④C．①②③D．①③④

Answer 1

①∵△ABC和△DCE均是等边三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
即∠BCD=∠ACE，
∵在△ACE和△BCD中

AC＝BC ∠ACE＝∠BCD CE＝CD

，
∴△ACE≌△BCD（SAS），①正确；
②∵△ACE≌△BCD，
∴∠CAE=∠CBD，
又∵∠AOB=∠CBD+∠AEC，∠ACB=∠CAE+∠AEC，
∴∠AOB=∠ACB，②正确；
③∵△ABC和△DCE均是等边三角形，
∴∠ACB=∠DEC=60°，
∴AC∥DE，③正确；
④设AC与BD交于点M，AE与CD交于点N．
由②可知，∠AOB=∠ACB=60°，
∴∠MON=120°．
由①△ACE≌△BCD，可得∠CAE=∠CBD，即∠MAO=∠MBC，
又∵∠AMO=∠BMC，
∴△AMO∽△BMC，
∴

AM

BM

=

OM

CM

，
∵∠AMB=∠OMC，
∴△AMB∽△OMC，
∴∠MAB=∠MOC=60°，
∴∠NOC=∠MON-∠MOC=60°．
∵∠OMC=∠OBC+∠BCA=∠EAC+60°，
∠ONC=∠OEC+∠NCE=∠AEC+60°，
在△ACE中，∵AC≠CE，
∴∠EAC≠∠AEC，
∴∠OMC≠∠ONC，
∵∠MCO=180°-∠MOC-∠OMC=180°-60°-∠OMC=120°-∠OMC，
∠NCO=180°-∠NOC-∠ONC=180°-60°-∠ONC=120°-∠ONC，
∴∠MCO≠∠NCO，即OC不平分∠ACD，④错误．
故选C．