Question

已知函数f（x）=e2x，g（x）=lnx+12，对?a∈R，?b∈（0，+∞），使得f（a）=g（b），则b-a的最小值为（　

已知函数f（x）=e2x，g（x）=lnx+12，对?a∈R，?b∈（0，+∞），使得f（a）=g（b），则b-a的最小值为（　　）A．1+12ln2B．1-12ln2C．2e-1D．e2-12

Answer 1

∵f（x）=e^2x，g（x）=lnx+

1

2

，
∴f^-1（x）=

lnx

2

，g^-1（x）=ex?

1

2

，
令h（x）=g^-1（x）-f^-1（x）=ex?

1

2

-

lnx

2

，
则b-a的最小值，即为h（x）的最小值，
∵h′（x）=ex?

1

2

-

1

2x

，
令h′（x）=0，解得x=

1

2

，
∵当x∈（0，

1

2

）时，h′（x）＜0，当x∈（

1

2

，+∞）时，h′（x）＞0，
故当x=

1

2

时，h（x）取最小值1-

ln 1 2

2

=1+

ln2

2

，
故选：A．